Aout 2016

Partant de deux réels positifs a_0 et a_1, on définit une suite dont les termes vérifient:

a_{n+1} a_{n-1} = a_n + 1.

Démontrez que a_{n+ 5} = a_n pour tout n.

Montrons d'abord que quelque soit n appartenant à IN on a ( a_n > 0 et a_{n+1} > 0 ==> a_{n+2} > 0 .

On a a_0 > 0 et a_1 > 0 (par hypothèse) ==> a_2 = (a_1 + 1)/a_0 > 0 .

Supposons maintenant que quelque soit n appartenant à IN on a ( a_n > 0 et a_{n+1} > 0 ==> a_{n+2}>0 )

et calculons a_{n+3}: a_{n+3} = (a_{n+2} + 1)/a_{n+1} > 0 ,

donc quelque soit n appartenant à IN : a_n > 0 .

Soient maintenant pour n appartenant , a_n = u > 0 et a_{n+1} = v > 0, donc

a_{n+2} = (v + 1)/u ,

a_{n+3} = (u + v + 1)/(uv),

a_{n+4} = (u + 1)/v,

a_{n+5} = u = a_n,

donc quelque soit n appartenant à IN on a : a_{n+5} = a_n .

J'espère que c'est juste.