Defi

Salam
Donnez forme trigonometrique de
Cos(2x)-2isin(2x)
X est dans R

utiliser formule d'Euler

Soit f une fonction de IR dans C telle que f(x) = cos(2x) - i 2sin(2x),
cette fonction est de période pi, donc on peut faire l'étude sur ]-pi/2,pi/2[ .

En posant rho^2 = 1 + 3 sin(2x)^2 on a f(x) = rho (cos(2x)/rho - i 2sin(2x)/rho),
soit phi telle que cos(phi) = cos(2x)/rho et sin(phi) = 2sin(2x)/rho ,

donc pour x<> -pi/4 ou pi/4 on a tan(phi) = 2 sin(2x)/cos(2x) = 2 tan(2x)
==> phi = arctan(2 tan(2x)),donc f(x) = rac(1 + 3 sin(2x)^2) (cos(phi) - i sin(phi)),

pour x = -pi/4 on a f(x) = 2i = 2 (cos(-pi/2) + i sin(pi/2)),
et pour x = pi/4 on a f(x) = - 2i = 2 (cos(pi/2) - i sin(pi/2)) .

est ce que phi appartient a ]-pi/2, pi/2[

Bonne remarque! c'est normal venant d'un de nos vétérans.

Vous avez raison, avant de passer à l'arctangente j'aurais dû astreindre phi à ]-pi/2,pi/2[ .

J'espère que l'un de nos professeurs nous éclaire sur ce sujet.