équation exposants

Résoudre dans R l'équation suivante :
3x(x-1)^(1/3) + 2(x-1)^(3/2) = 0

Bonjour ;

Soit f la fonction définie sur [1;+infini[ telle que pour tout x appartenant à [1;+infini[
f(x) = 3x(x - 1)^(1/3) + 2(x - 1)^(3/2) .

On a : x >= 1 ==> x - 1>= 0 ==> (x - 1)^(1/3) >= 0 ==> 3x(x - 1)^(1/3) >= 0 .
De même , on a : x >= 1 ==> x - 1>= 0 ==> (x - 1)^(3/2) >= 0 ==> 2(x - 1)^(3/2) >= 0
==> - 2(x - 1)^(3/2) =< 0 .

Donc : 3x(x - 1)^(1/3) +2(x - 1)^(3/2) = 0
==> 3x(x - 1)^(1/3) = - 2(x - 1)^(3/2) =< 0

Donc : 0 =< 3x(x - 1)^(1/3) =< 0
Donc : 3x(x - 1)^(1/3) = 0
Donc : (x - 1)^(1/3) = 0 (x ne peut pas être nul car x appartient à [1;+infini[)
Donc : x - 1 = 0
Donc : x = 1 .

On a : x >= 1, on pose x-1=y^6

3x(x-1)^(1/3) + 2(x-1)^(3/2) = 3(y^6 +1)y^2+2y^9=0
<=> y=0 ou 3(y^6 +1)+2y^7=0
<=> y=0 car 3(y^6 +1)+2y^7>0
<=> x=1