calculez : x^4 +y^4 +z^4

sachant :
x+y+z = 6
x²+y²+z² = 8
x^3 +y^3 +z^3 = 5
calculez : x^4 +y^4 +z^4

Bonjour ;

Supposons que (x;y;z) appartient à C^3 .

On a : x^4 + y^4 + z^4 = (x² + y² + z²)² - 2(x²y² + y²z² + z²x²) = 64 - 2(x²y² + y²z² + z²x²) .

Calculons donc : x²y² + y²z² + z²x² .

(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx) ==> 36 = 8 + 2(xy + yz + zx)
==> xy + yz + zx = 28/2 = 14  .

On a : (xy + yz + zx)² = x²y² + y²z² + z²x² + 2x²yz + 2xy²z + 2xyz²
= x²y² + y²z² + z²x² + 2xyz(x + y + z) = x²y² + y²z² + z²x² + 12xyz
==> 196 = x²y² + y²z² + z²x² + 12xyz ==> x²y² + y²z² + z²x² = 196 - 12xyz .

Il faut donc calculer xyz .

(x + y + z)^3 = (x + y)^3 + z^3 + 3z(x + y)(x + y + z) = (x + y)^3 + z^3 + 18z(x + y)
= x^3 + y^3 + 3xy(x + y) + z^3 + 18z(6 - z)
= x^3 + y^3 + z^3 + 3xy(6 - z) + 18z(6 - z)
= 5 + 18xy - 3xyz + 108z - 18z²
==> 216 = 5 + 18xy - 3xyz + 108z - 18z²
==> 211 = 18xy - 3xyz + 108z - 18z² .

De même on obtient : 211 = 18xz - 3xyz + 108y - 18y² et 211 = 18yz - 3xyz + 108x - 18x² .

Donc en sommant ces trois équations on a :

633 = 18(xy + yz + zx) - 9xyz + 108(x + y + z) - 18(x² + y² + z²)
= 18 * 14 - 9xyz + 108 * 6 - 18 * 8
= - 9xyz + 756
==> 9xyz = 123 ==> 3xyz = 41 .

Conclusion :
On a donc : x²y² + y²z² + z²x² = 196 - 12xyz = 196 - 164 = 32
donc : x^4 + y^4 + z^4 = 64 - 2(x²y² + y²z² + z²x²) = 64 - 2 * 32 = 0 .

aymanemaysae a écrit:

Il faut donc calculer xyz .

(x + y + z)^3 = (x + y)^3 + z^3 + 3z(x + y)(x + y + z) = (x + y)^3 + z^3 + 18z(x + y)
= x^3 + y^3 + 3xy(x + y) + z^3 + 18z(6 - z)
= x^3 + y^3 + z^3 + 3xy(6 - z) + 18z(6 - z)
= 5 + 18xy - 3xyz + 108z - 18z²
==> 216 = 5 + 18xy - 3xyz + 108z - 18z²
==> 211 = 18xy - 3xyz + 108z - 18z² .

De même on obtient : 211 = 18xz - 3xyz + 108y - 18y² et 211 = 18yz - 3xyz + 108x - 18x² .

Donc en sommant ces trois équations on a :

633 = 18(xy + yz + zx) - 9xyz + 108(x + y + z) - 18(x² + y² + z²)
= 18 * 14 - 9xyz + 108 * 6 - 18 * 8
= - 9xyz + 756
==> 9xyz = 123 ==> 3xyz = 41 .

Je pense que la solution proposée est correcte. Sinon, il y a une façon de faire plus rapide:
On a .
Ce qui donne .

belgacem a écrit:

sachant :
x+y+z = 6
x²+y²+z² = 8
x^3 +y^3 +z^3 = 5
calculez : x^4 +y^4 +z^4

On a (x^3+y^3+z^3)(x+y+z)=x^4+y^4+z^4+(xy+xz+yz)(x²+y²+z²)-xyz(x+y+z)

Et 2(xy+xz+yz)=(x+y+z)²-(x²+y²+z²)=36-8=28 donc xy+xz+yz=14

Et x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-xz-yz)=-36 alors xyz=41/3

D'où x^4+y^4+z^4=(x^3+y^3+z^3)(x+y+z)-(xy+xz+yz)(x²+y²+z²)+xyz(x+y+z)=30-112+82=0