Une équation fonctionnelle !

Bonjour  

Une fonction continue et bornée,  f : IR  -> IR  satisfait l'égalité :

f(x - 1) + f(x + 1) + f(x - pi) + f(x + pi) = 4f(x)  pour tout réel x.

Prouver que f est constante. Bonne réflexion !

f(x+2nπ-1+2n)+f(x+(2n-1)π+2n)-f(x-1)-f(x-π)=4*somme_{k=0}^{2n-1}((-1)^{k+1}*f(x+k(π+1))),
f(x+2nπ+2n+1)+f(x+(2n+1)π+2n)+f(x-π)+f(x-1)=4*somme_{k=0}^{2n}((-1)^k*f(x+k(π+1)))
pour tous x réel et n entier.

Exercice difficile !

L'ensemble {a-b*Pi ∣ (a,b)∈ IN^2} est dense dans IR; pour tout x réel il existe une suite (a_n -b_n *Pi)_{n∈IN} laquelle tend vers x?