dérivée sous le signe intégral

Quelle est la dérivée de :

Où f :IR²--->IR et u: IR-->IR de classe C^1

derivée d'une fonction composée:
F'(x)= u '(x) int(0^u(x),df(x,t)dt/dx)dt

Non aissa.

Bonjour abdelbaki;
Notons F la fonction à dériver.
Comme f : (x,t) --> f(x,t) est continue sur IR² et admet une dérivée partielle f'x = df/dx continue sur IR² (ce qui est le cas vu que f est C^1)
et u est C^1 sur IR , la fonction F est continument dérivable sur IR et on a pour tout réel x :
F'(x) = u'(x).f(x,u(x)) + int [0,u(x)] f'x (x,t) dt (sauf erreur bien entendu)

Bonjour Abdelali
Je n'ai pas encore fait le calcul, mais ta formule peut-être juste. Allons-y

En général, pour chercher la dérivée on commence par le taux d'accroissement. Je note, pour simplifier, int(a,b,f(x)) l'intégrale de a à b de f(x)dx.

F(x+h)-F(x)=int(0,u(x+h),f(x+h,t))-int(0,u(x),f(x,t))
On a u(x+h)=u(x)+u'(x).h+h.eps(h)
f(x+h,t)=f(x,t)+f'x(x,t)h+h eps(h,t)

F(x+h)-F(x)=int(0,u(x),f(x+h,t)-f(x,t)))+int(u(x),u(x+h),f(x,t))
=int(0,u(x),f'x(x,t)h+h eps(h,t) )+(u'(x).h+h.eps(h)) f(x,t(h))
avec t(h) entre u(x+h) et u(x) ( la formule de la moyenne)

On voit donc que F'(x)=u'(x)f(x,u(x))+int(0,u(x),f'x(x,t))
Donc c'est Ok