inégalité où je me coince

salut svp de l'aide j'y suis coincé:
soit a;b;c;d>0
démontrez que
a/(b+2c+3d) +b/(c+2d+3a) +c/(d+2a+3b)+ d/(a+2b+3c) >= 2/3

svp help

Bonjour codex00 !!!
Tu as posé la question suivante :
<< Soit a;b;c;d>0
démontrez que
a/(b+2c+3d) +b/(c+2d+3a) +c/(d+2a+3b)+ d/(a+2b+3c) >= 2/3 >>

Ma contribution :
On pose M=Max(a;b;c;d) {le plus grand parmi a,b,c et d } alors
b+2c+3d <=6M
de même c+2d+3a <=6M et a+2b+3c <=6M
Il en résulte que :
a/(b+2c+3d) +b/(c+2d+3a) +c/(d+2a+3b)+ d/(a+2b+3c) >=(a+b+c+d)/6M
Or M étant le +grand des nombres a,b,c,d et a;b;c;d>0 ;
il sera égal à l'un d'entres eux d'ou a+b+c+d >M et de là , il vient que :
a/(b+2c+3d) +b/(c+2d+3a) +c/(d+2a+3b)+ d/(a+2b+3c) >(M/6M)=1/6

JE NE SAIS FAIRE MIEUX !!!!!! LHASSANE
( Ton inégalité semble vraie faire a=b=c=d=1 )

Bonjour, je suis nouveau sur ce forum et ne sais pas trop utiliser les fonctions de mise en page des signes (plus petit, plus grand que etc)


j'ai essayé de résoudre le pb des inégalités comme ça :

je choisis a comme étant de plus grand de la suite a,b,c,d.

alors
1- b+2c+ 3d inférieur(ou égal) à 6a
é- c+2d+3a inf. à 6a, donc c+2d inf à 3a : c inf. 3a-2d
3- d+2a+3b inf 3a à 6a donc d+3b inf à 4a : d inf 4a-3b
4- a+2b+3c inf 6a donc 2b+ 3c inf à 5a



on obtient ensuite la première inégalité
a/(b+2c+3d) +b/(c+2d+3a) +c/(d+2a+3b)+ d/(a+2b+3c) plus grand que a+b+c+d/6a



de (1-) et (2-) on a
c inf.(ou égal) 3a –2d
d inf.(ou égal) 4a-3b

(c+d) inf 3a-2d +4a –3b=7a –3b-2d
(c+b+d) inf 7a –(3b+2d)+d=7a-(3b+d) donc (par (3-) :d+3b inf à 4a ) :c+b+d inf 7a-4a=3a

donc( a+b+c+d) inf à a+3a=4a

donc a+b+c+d /6a inf à 4a/6a =2/3

je voulais , à la fin écrire sup et non pas inf (dénominateur majoré et numérateur minoré, donc le sens de l'inégalité est maintenu)

Bonjour néo !! Ta réponse est des +correctes !!!!!!
En fait , tu as personnalisé mon Max{a,b,c,d} que j'ai noté M et peut etre , c'est pour cela que je n'ai pas réussi à faire mieux!!
Quant à la rédaction des réponses , on fait avec ce que l'on a !!!! On ne dispose pas d'un éditeur de texte mathématique incorporé sur le forum . On arrive à se comprendre et c'est l'essentiel !!!! LHASSANE

merci mais est ce que c po possible avec cauchy-schwarz??

tu peut utiliser cauchy-shwartz

tu peux appliquer cauchy .on a : (3/2) * (a+b+c+d)^2>sigm(a(b+2c+ 3d) ). ensuite tu applique cauchy avec sigma(a/(b+2c+3d)) et sigm(a(b+2c+ 3d) )et tu remplace avec (3/2) * (a+b+c+d)^2.

toetoe a écrit:

tu peux appliquer cauchy .on a : (3/2) * (a+b+c+d)^2>sigm(a(b+2c+ 3d) ). ensuite tu applique cauchy avec sigma(a/(b+2c+3d)) et sigm(a(b+2c+ 3d) )et tu remplace avec (3/2) * (a+b+c+d)^2.

tu peux utiliser convexitede 1/x et consederer que a++c+d=1

azbi a écrit:

tu peux utiliser convexitede 1/x et consederer que a++c+d=1

g po encoe étudier

soit S le membre de gauche ,on pose A=b+2c+3d,B=c+2d+3a,C=d+2a+3b,D=a+2b+3c
d'après gauchy-shwartz
(a/A+b/B..d/D)(aA+...+dD)>=(a+b..+d)²
il suffit de prouver que 8(ab+ad+ac+bc+bd+cd)<=3(a+b+c+d)² ou
(p_2)^1/2<=p_1 qui est une inegalité de Mac laurin

juste une remarque: la solution de neo est fausse.