Greg

Une petite série pour bien commencer l'année :

1- Combien y a-y-il de matrices nilpotentes à coefficients dans F_p ?

2- X^n + Y^m + Z^2 est-il irréductible dans Z[X_1,X_2,X_3] ?

3- Quels sont les polynomes de Z[X_1,...,X_n] nuls dans un ouvert non vide de R^n ?

4- Un groupe tel que x^3=x est-il forcément commutatif ?

5- Un anneau tel que x^3=x est-il forcément commutatif ?

Pour la 3 : y a que 0 puisqu'il doit être nul sur un produit d'ensembles infinis (mettre une boule carrée éventuellement)

lolo

Pour la 2 ) : suffit de voir s'il est irréductible modulo Y , et donc de voir si
X^n + Z^2 est irréductible dans Z[X,Z] , mais comme ce dernier est de contenu 1, reste à voir l'irréductibilité dans Q(X)[Z] comme il est de degré 2 suffit de savoir s'il y a des racines dans Q(X) et même dans Q[X] il faut n pair et même dans ce cas par positivité c'est cui .

Donc oui ( y a pas de fautes jsuis allé un peu vite?)

lolo

4) oui classique

pour le 1) : une infinité !


Sur la clôture algébrique de Fp une nilpotente est semblable à une UNIQUE matrice consituée d'un certain nombre de blocs de Jordans nilpotents
donc sur Fp aussi, or on sait calculer le nombre de changements de bases....y a plus qu'à compter ....ce qui est fatiguant !

lolo

je voulais écritre y a plus qu'à compter dans le cas dim E = n fixée.

Dois y avoir plus rapide ?

lolo

et pour la 5 ...... OUI , mais alors de preuve simple je ne connais pas ?

lolo

en fait le calcul du 1) n'est pas trop pénible...je laisse les autres faire les détails.

lolo