pour les tc ..+

**Quelles conditions faut-il imposer aux nombres réels a et b pour que le polynôme
x4 + x3 + ax2 + bx + 1 possède deux racines réelles distinctes et opposées ?

**Résoudre :

Salut
voici ma solution, prière de vérifier si elle est correcte!
on a P(x)= x4 + x3 + ax2 + bx + 1.
P(x) possède deux racines distinctes et opposées x' et y:
donc x'=-y.
on a P(0)=1 donc x' et y sont non nuls.
x' et y sont des racines de P(x) si seulement si:
x'4 + x'3 + ax'2 + bx' + 1=0 et y4 + y3 + ay2 + by + 1=0
puis que x'=-y on a
(-y)4 + (-y)3 + a(-y)2 + b(-y) + 1=0
et y4 + y3 + ay2 + by + 1=0
<=> y4-y3+ay2-by+1=0 et y4 + y3 + ay2 + by + 1=0
donc y4-y3+ay2-by+1=y4 + y3 + ay2 + by + 1
<=> 2y3+2by=0 <=> y3+by=0
<=> y(y²+b)=0
donc y=0 ou y²+b=0
puisque y est non nul on a: y²+b=0
donc y²=-b
donc -b>0 car y²>0 alors b<0.
y²+b=0 <=> y²-(-b)=0 <=> (y-rac(-b))(y+rac(-b))=0
donc y=rac(-b) ou y=-rac(-b)
donc y=rac(-b) et x'=-rac(-b) ou x'=rac(-b) ou y=-rac(-b)
donc P(rac(-b))=P(-rac(-b))=0
on a P(rac(-b))=P(-rac(-b))=b²-ab+1
donc b²-ab+1=0 <=> b²+1=ab donc ab>0
puisque b<0 donc a<0
b²-ab+1=0
delta=a²-4.
si delta<0 l'équation n'aura pas de solution
donc delta>=0 <=> a²-4>=0
<=> a=<-2 ou a>=2
puisque a<0 on a: a=<-2
donc les conditions qu'il faut imposer aux nombres réels a et b pour que le P(x)=x4 + x3 + ax2 + bx + 1 possède deux racines réelles distinctes et opposées sont : b<0 et a=<-2
DONC EST CE JUSTE?

la deuxième question:
N.B:
?=delta

donc est-ce juste?!

rim hariss a écrit:

Salut
voici ma solution, prière de vérifier si elle est correcte!
on a P(x)= x4 + x3 + ax2 + bx + 1.
P(x) possède deux racines distinctes et opposées x' et y:
donc x'=-y.
on a P(0)=1 donc x' et y sont non nuls.
x' et y sont des racines de P(x) si seulement si:
x'4 + x'3 + ax'2 + bx' + 1=0 et y4 + y3 + ay2 + by + 1=0
puis que x'=-y on a
(-y)4 + (-y)3 + a(-y)2 + b(-y) + 1=0
et y4 + y3 + ay2 + by + 1=0
<=> y4-y3+ay2-by+1=0 et y4 + y3 + ay2 + by + 1=0
donc y4-y3+ay2-by+1=y4 + y3 + ay2 + by + 1
<=> 2y3+2by=0 <=> y3+by=0
<=> y(y²+b)=0
donc y=0 ou y²+b=0
puisque y est non nul on a: y²+b=0
donc y²=-b
donc -b>0 car y²>0 alors b<0.
y²+b=0 <=> y²-(-b)=0 <=> (y-rac(-b))(y+rac(-b))=0
donc y=rac(-b) ou y=-rac(-b)
donc y=rac(-b) et x'=-rac(-b) ou x'=rac(-b) ou y=-rac(-b)
donc P(rac(-b))=P(-rac(-b))=0
on a P(rac(-b))=P(-rac(-b))=b²-ab+1
donc b²-ab+1=0 <=> b²+1=ab donc ab>0
puisque b<0 donc a<0
----------------------------------------------------------
b²-ab+1=0
delta=a²-4.
si delta<0 l'équation n'aura pas de solution
donc delta>=0 <=> a²-4>=0
<=> a=<-2 ou a>=2
puisque a<0 on a: a=<-2
donc les conditions qu'il faut imposer aux nombres réels a et b pour que le P(x)=x4 + x3 + ax2 + bx + 1 possède deux racines réelles distinctes et opposées sont : b<0 et a=<-2
DONC EST CE JUSTE?

oui rim cest juste bon travail (et vive barça)

rim hariss a écrit:

Salut
voici ma solution, prière de vérifier si elle est correcte!
on a P(x)= x4 + x3 + ax2 + bx + 1.
P(x) possède deux racines distinctes et opposées x' et y:
donc x'=-y.
on a P(0)=1 donc x' et y sont non nuls.
x' et y sont des racines de P(x) si seulement si:
x'4 + x'3 + ax'2 + bx' + 1=0 et y4 + y3 + ay2 + by + 1=0
puis que x'=-y on a
(-y)4 + (-y)3 + a(-y)2 + b(-y) + 1=0
et y4 + y3 + ay2 + by + 1=0
<=> y4-y3+ay2-by+1=0 et y4 + y3 + ay2 + by + 1=0
donc y4-y3+ay2-by+1=y4 + y3 + ay2 + by + 1
<=> 2y3+2by=0 <=> y3+by=0
<=> y(y²+b)=0
donc y=0 ou y²+b=0
puisque y est non nul on a: y²+b=0
donc y²=-b
donc -b>0 car y²>0 alors b<0.
y²+b=0 <=> y²-(-b)=0 <=> (y-rac(-b))(y+rac(-b))=0
donc y=rac(-b) ou y=-rac(-b)
donc y=rac(-b) et x'=-rac(-b) ou x'=rac(-b) ou y=-rac(-b)
donc P(rac(-b))=P(-rac(-b))=0
on a P(rac(-b))=P(-rac(-b))=b²-ab+1
donc b²-ab+1=0 <=> b²+1=ab donc ab>0
puisque b<0 donc a<0
b²-ab+1=0
delta=a²-4.
si delta<0 l'équation n'aura pas de solution
donc delta>=0 <=> a²-4>=0
<=> a=<-2 ou a>=2
puisque a<0 on a: a=<-2
donc les conditions qu'il faut imposer aux nombres réels a et b pour que le P(x)=x4 + x3 + ax2 + bx + 1 possède deux racines réelles distinctes et opposées sont : b<0 et a=<-2
DONC EST CE JUSTE?

pour le premier je crois que oui

dsl j'avais pas vu le poste de selfrespect

rim hariss a écrit:

la deuxième question:
N.B:
?=delta

oui cest juste (sauf pour la deuxieme solution je crois que cest 13/12!! mé cest arejeter cameme))

rim hariss a écrit:

la deuxième question:
N.B:
?=delta

très très très bon travail bien joué

merci beucoup!
ça me réjouit:cheers:
et vive barca bien sur!!

d'ou vient ca????

j'ai pas compris

un logiciel ou quoi????

Anas_CH a écrit:

j'ai pas compris

qu est ce que tu n'as pas compris anass ?

had rim hariss mnin katjib lhal

Anas_CH a écrit:

had rim hariss mnin katjib lhal

"mnin rassha" (ce qu on désire) bien sur et pour l'ecriture elle ya + logiciels qui permettent decrire comme ça.

s3datha mjhda mais moi je suis nul

salut Anas_CH !
ne t'en fait pas, ça vient surtout avec l'exercice et l'entrainement!
et pour le logiciel ça vient avec encarta 2007 études quand tu l'achètes!