abélien

Bonjour
On se donne un groupe G, et f un automorphisme involutif dont le
seul point fixe est 1. Montrer que G est abélien.
AA+

Ca fait une heure que je suis dessus ....


Soit g : x -> x^(-1) * f(x)

On a g injective par unicité du point fixe
On a g(g(x)) = x^(-1) donc g est surjective.


Maintenant c'est facile, f(x^(-1) * f(x)) = (x^(-1) * f(x))^(-1)

Le seul cas où x -> x^(-1) est un automorphisme c'est quand G est abélien

j'ai du mal avec la preuve précédente ?

g(x)=1 n'a que 1 comme solution, mais pourquoi cela prouve l'injectivité ? g n'est pas un morphisme
g(xy) = (xy)^-1 f(xy) = y^-1 . x^- 1 f(x)f(y) n'est pas g(x)g(y) ?


Ensuite g(g(x)) = [ x^-1 f(x)]^-1 f( x^-1 f(x)) = f(x^-1) .x f(x^-1) x ?

lolo perdu

je m'ai peut-être gouru mais :

x^-1 f(x) = y^-1 f(y) => yx^-1 = f(y)f(x)^-1 = f(y)f(x^-1) = f(yx^-1) et donc yx^-1 = 1.

très bien , je crois que jsuis pas en forme ce soir