le titre a vous

soient a,b,c des nombre reel positivestel que abc=8
montrer que a²/[(1+a^3)(1+b^3)]^1/2 +b²/[(1+b^3)(1+c^3)]^1/2
+c²/[(1+c^3)(1+a^3)]^1/2 >= 4/3

c'est un APMO

salut, j'ai po trouvé la solution, mais voilà où je me suis bloqué :
on a d'après l'inegalité de la moyenne : r[ (1+a^3)(1+b^3) ] =< (a^3 + b^3 + 2)/2
donc : a²/( r[ (1+a^3)(1+b^3) ] ) >= 2a²/(a^3 + b^3 + 2)
donc il suffit de démontrer que : P = a²/(a^3 + b^3 + 2) + b²/(b^3 + c^3 + 2) + c²/(c^3 + a^3 + 2) >= 2/3
et d'après caushy shwarz, on a : P >= (a+b+c)²/ 2(a^3 + b^3 + c^3 + 3)
et c'est là où je me suis bloqué, il me reste de démontrer que :
3(a+b+c)² >= 4(a^3 + b^3 + c^3 + 3 ) sachant que abc = 8
est ce que je suis dans le bon chemin ?

je ne pense pas

L'étude de la fonction f(x)=((2+x²)/2)²-(1+x^3)^1/2 nous conduit à conclure que 1/(1+x^3)^1/2>=2/2+x².
Donc,on obtient après un jeu de calcul
La proposition proposée est>=2(a²+b²+c²)+a²b²+b²c²+c²a²/(2+a²)(2+b²)(2+c²)>=1/3
Faisons la soustraction et remarquons que; a²+b²+c²>=12 et a²b²+b²c²+c²a²>=48.

En retard mais je vs apporte une autre solution :
rac(a^3 + 1) = rac[(a+1)(a²-a+1)] =< (a²+2)/2
donc S >= 4{ a²/(a²+2)(b²+2) + b²/(b²+2)(c²+2) + c²/(c²+2)(a²+2) }
donc il suffit de prouver que :
3[ a²(c²+2) + b²(a²+2) + c²(b²+2) ] >= (a²+2)(b²+2)(c²+2)
<=> T = a²b² + b²c² + c²a² + 2(a²+b²+c²) >= 72
ce qui est vrai, puisque :
T >= 3[(abc)^1/3]^4 + 6[(abc)^1/3]² = 72
d'où le résultat !!

adam a écrit:

En retard mais je vs apporte une autre solution :
rac(a^3 + 1) = rac[(a+1)(a²-a+1)] =< (a²+2)/2
donc S >= 4{ a²/(a²+2)(b²+2) + b²/(b²+2)(c²+2) + c²/(c²+2)(a²+2) }
donc il suffit de prouver que :
3[ a²(c²+2) + b²(a²+2) + c²(b²+2) ] >= (a²+2)(b²+2)(c²+2)
<=> T = a²b² + b²c² + c²a² + 2(a²+b²+c²) >= 72
ce qui est vrai, puisque :
T >= 3[(abc)^1/3]^4 + 6[(abc)^1/3]² = 72
d'où le résultat !!

c'est claire et simple comme solution ,Trés bien adam