soit (x,y,z) un tel couple alors sans perte de généralité on pt supposer que |y+z|<=|x+y| et |z+x|<=|x+y|
comme (x+y)(x+z)(y+z)=x^3+y^3+z^3
alors on déduit que x+y divise z
d ou il existe a tel que z=a(x+y)
d ou ((z+x)+(z+y)-(x+y))/2=a(x+y)
on suppose que x+y#0:
on divise le tt par x+y on obtien:
a=((z+x)+(z+y)-(x+y))/2(x+y)
-3/2 <= a <=3/2
ce qui donne appartien a {-1,0,1}
si a=-1: alors z=-(x+y) d ou x+y+z=0
on remplaceant ds l eqution on obtient:
-xyz=x^3+y^3+z^3=x^3+y^3-(x+y)^3=3xyz
ainsi 4xyz=0 d ou l un des nombres est nul
si a=0: alors z=0 ce qu on cherche
si a=1:alors z=x+y on remplace ds l equation on obtien
z(z+x)(z+y)=z(x²-xy+y²)+z^3
si z=0 ya rien a demontrer
sinon on simplifie par z alors
(z+x)(z+y)=(x²-xy+y²)+z²
z²+xy+yz+xz=x²-xy+y²+z²
xy+(x+y)(x+y)=x²-xy+y²
xy+x²+2xy+y²=x²-xy+y²
d ou 4xy=0 par suite soit x=0 ou y=0
ainsi on a demontré que ds ts les cas l un des nombres est nul
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