demontrer que l'un des nombres est egal a 1

j'ai un exercice interessant a le faire partager avec vous voila:
soient a et b et c 3 nombres reels tels que:
abc=1
a+b+c=1/a+1/b+1/c
demontrer que l'un des nombres est egal a 1

a+b+c=1/a+1/b+1/c donc a+b+c-ab-bc-ca=0 (abc=1)
ou bien abc-ab-ac+a-bc+b+c-1=0
d ou (a-1)(b-1)(c-1)=0
et par suite l un des trois nombres est egale a 1