inégalité qui me bloque!

Expert sup Nombre de messages : 701 Date d'inscription : 06/11/2006

Bonjour à tout le monde !

x, y et z>0
Démontrer que
x^3/(x²+xy+y²) +y^3/(y²+yz+z²) + z^3/(z²+zx+x²)>= (x+y+z)/3

affraid

j'ai pas trouvé grand chose Exclamation

Help

Bonjour relena ;
Par la convexité je crois que c'est faisable :
on commence par homogéiniser en posant ,
S = x+y+z , a = x/S , b = y/S , c = z/S
l'inégalité devient alors :
a^3/(a²+ab+b²) + b^3/(b²+bc+c²) + c^3/(c²+ca+a²) >= 1/3 avec a+b+c = 1
qui s'écrit aussi :
a/(1+p+p²) + b/(1+q+q²) + c/(1+r+r²) >= 1/3 avec p = b/a , q = c/b , r = a/c
la fonction f : t --> 1/(1+t+t²) étant convexe sur [0,+oo[ (f''(t) = 6(t²+t)/(1+t+t²)^3) ,
on a : af(p) + bf(q) + cf(r) >= f(ap+bq+cr) = f(1) = 1/3 farao

(sauf erreur)

voici une autre méthode :
x^3/(x²+y²+xy) = x - (x²y+xy²)/(x²+y²+xy)
or, x²+y²+xy >= 3xy , d'où x^3/(x²+y²+xy) >= x - (x²y+xy²)/3xy = x - (x+y)/3
de meme on obtient : y^3/(y²+z²+yz) >= y - (y+z)/3
et : z^3/(z²+x²+xz) >= z - (x+z)/3
et en sommant : on obtient l'inegalité désirée !!

effectivement c'est plus rapide comme ça Very Happy

Expert sup Nombre de messages : 701 Date d'inscription : 06/11/2006

waw vous etes des génies Surprised

merci bcp

adam a écrit:: voici une autre méthode :
x^3/(x²+y²+xy) = x - (x²y+xy²)/(x²+y²+xy)
or, x²+y²+xy >= 3xy , d'où x^3/(x²+y²+xy) >= x - (x²y+xy²)/3xy = x - (x+y)/3
de meme on obtient : y^3/(y²+z²+yz) >= y - (y+z)/3
et : z^3/(z²+x²+xz) >= z - (x+z)/3
et en sommant : on obtient l'inegalité désirée !!

trés bien Adam

mais comment tu as eu l'ideé de ça :
x^3/(x²+y²+xy) = x - (x²y+xy²)/(x²+y²+xy) Basketball