variétés

salam
voila qq exos,que j'ai recopié de notre manuel de math,et qui sont robustes a mon gouts:
1)determinez le reste de la division euclidienne de 999999^3 sur 5.
2)prouvez que qq soit n de IN: est divisible pas 11.
3)prouvez que 4^105+3^105 est divisible par 13 et 49 et 181 et 379.mais pas par 5 et 11.
4)a,b et c sont des nombres de IR non nuls,tel que:: ab+bc+ca=0.
calculez :
5)prouvez que le polynome: (n est un entier naturel non nul) est divisible par :

je vois qu'il est résolu d'une methode de premiere
alors essayons avec les notres

J'ai donné une solution qui a besoin de confirmation

Tou aussi tu as "wa7at riadiate"

Désolée pour l'interruption;
Mais voici ma sollution pour le 5èm :

(x-1) (x²-1) = (x-1) (x-1) (x+1)
Pour que le polynome soit divisible par (x-1) (x²-1), il faut que 1 et -1 soient ses racines.
C'est à dire P(1) = 0 et P(-1) = 0.

P(1) = (1^n - 1) [1^(n+1) -1] = (1-1) [1^(n+1) -1] = 0 pour tout n de IN (1)

Maintenant on passe à -1 :

Supposons que n est pair :
P(-1) = [(-1^n)-1] [-1^(n+1)-1] = (1-1) [-1^(n+1)-1] = 0 (a)

Supposons que n est impair :

P(-1) = [(-1^n)-1)] [(-1^(n+1))-1]
= [(-1^n)-1)] [((-1^n)*(-1))-1]
= [(-1^n)-1)] (-1*-1 -1)
P(-1) = 0 (b)
De (a) et (b) on conclut que -1 est racine du polynome pour tout n de IN (2)
De (1) et (2) on conclut que le polynome est divisible par (x-1) (x²-1)pour tout n de IN*.
confirmation

(b+c)/a + (c+a)/b + (a+b)/c = [(ab+ac+bc) (a+b+c) -3abc]/abc
donc (b+c)/a + (c+a)/b + (a+b)/c = -3
confirmez svp

pour celui du polynome il a été posté mintes de fois dans le forum
et c'est juste

on a (b+c)/a + (c+a)/b + (a+b)/c=b²c+bc²+ac²+a²c+a²b+ab²/abc
=bc(b+c)+ac²+a²c+a²b+ab²/abc et bc=-ab-ac
=(b+c)(-ab-ac)+ac²+a²c+a²b+ab²/abc
=-2abc-a²c-ab²+ac²+a²c+a²b+ab²/abc
=-2abc+a²c+a²b/abc
=-2abc+a(ac)+a²b/abc et ac=-ab-bc
=-2abc+a(-ab-bc)+a²b/abc
=-2abc-a²b-abc+a²b/abc
=-3abc/abc
=-3
et voilà

oui -3 est la bonne reponse

je les avait tous résolu sauf le deuxième mais c'était au début de l'année

Bravo huntersoul !

Je pense que j'ai trouvé la sollution pour montrer que 4^105+3^105 ne se divise pas par 5 :
Observez 4² =16; 4^3 = 64; 4^4 =256 etc............
Il est clair que les numéraux d'unités des puissances 4 sont ou bien 4 ou bien 6 (exclus 4^0)
d'où le numérau d'unité de 4^105 est 6
4^105+3^105 se divisera par 5 que si le numérau d'unité de 3^105 sera 4 ou 8et cela ne sera jamais; car les chiffres d'unité des puissances de 3 sont 1; 3; 9; 7 pas plus !
conclusion 4^105+3^105 ne se divise pas par 5
confirmez svp

pour le 1)
on prend par exemple 24/5 son reste est 4
et 124/5 on reste est 4
624/5 son reste est 4
en déduire que 5n-1 par 5 son reste est 4
et on a 999999^3-1=(10^6-1)²=10^18-3.10^12+3.10^6-1
999999^3-1=5(2.10^17-6.10^11+6.10^5)-1
donc le reste de 5(2.10^17-6.10^11+6.10^5)-1 est 4
en déduire que le reste de 999999^3-1 par 5 est 4

helo
comment factoriser x^4+4 dans IR
@+

Où as tu trouvé cela

dans un olympiade
et hier je l'ai trouvé dans un exo de notre programme disant:
أكتب على شكل فرق مربعين
x^4+4

pour l'olympiade je prefere que tu le postes complet

sami a écrit:

dans un olympiade
et hier je l'ai trouvé dans un exo de notre programme disant:
أكتب على شكل فرق مربعين
x^4+4

ben c'est facile
on x^4+4=x^4+4x²+4-4x²=(x²+2)²-4x²

le voila
http://mathsmaroc.ifrance.com/olymp/tc/o1.pdf

sami a écrit:

helo
comment factoriser x^4+4 dans IR
@+

pour la factorisation
on a x^4+4=x^4+4x²+4-4x²=(x²+2)²-4x²=(x²+2x+2)(x²-2x+2)
x^4+4=(x+2)²(x-2)²

oui c'est ça
il fallait l'écrire sous la forme de a²-b² et puis factoriser

pour le troisième je l'ai travaillé mais ça a demandé beaucoup de calculs est ce qu'il y a un astuce
et le quatrième il suffit de mettre un repère et travailler normal (des droites)

on a : ab + bc +ca =0 donc (ab+bc+ca)/abc = 0 alors 1/a + 1/b+ 1/c = 0

donc a*(1/a + 1/b+ 1/c) =0
et b*(1/a + 1/b+ 1/c) = 0
et c*(1/a + 1/b+ 1/c) =0

alors 1+ a/b + a/c = 0
et 1+ b/a + b/c = 0
et 1+c/a + c/b = 0

d'ou : (b+c)/a + (c+a)/b + (a+b)/c

= (1+ a/b + a/c) + (1+ b/a + b/c)+(1+c/a + c/b) - 3 = -3

bonne méthode conan