| difficile inégalité | |
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radouane_BNE Modérateur
Nombre de messages : 1488 Localisation : Montréal Date d'inscription : 11/01/2006
| Sujet: difficile inégalité Dim 29 Avr 2007, 11:28 | |
| soient a,b et c trois réels strictement positifs tels que abc=1. prouver que (a+b)(b+c)(c+a)>=4(a+b+c-1) | |
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ahmadoustra Débutant
Nombre de messages : 6 Localisation : au dela de l'horizon Date d'inscription : 25/04/2007
| Sujet: Re: difficile inégalité Lun 30 Avr 2007, 09:15 | |
| Je vous donne des indications: posez x = a + b , y = b + c et z = c + a puis p = x + y + z;
x , y et z sont alors les cotés d'un triangle. p est son périmetre. l'égalité devra avoir lieu pour un triangle equilateral... ( je n'ai fait aucun calcul...)
bon courage, | |
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selfrespect Expert sup
Nombre de messages : 2514 Localisation : trou noir Date d'inscription : 14/05/2006
| Sujet: Re: difficile inégalité Lun 30 Avr 2007, 13:02 | |
| - ahmadoustra a écrit:
- Je vous donne des indications:
posez x = a + b , y = b + c et z = c + a puis p = x + y + z;
x , y et z sont alors les cotés d'un triangle. p est son périmetre. l'égalité devra avoir lieu pour un triangle equilateral... ( je n'ai fait aucun calcul...)
bon courage, b1 vu voila une autre methode !! supposant a=<b=<c abc=1 ===> 0<a=1/bc =<1linegalité aprouver dev1 (1/bc+b)(b+c)(c+1/bc)>=4(1/bc+b+c-1)mnt a vous de jouer (soit par les fcts soit autre chose ) | |
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Conan Expert sup
Nombre de messages : 1722 Age : 34 Localisation : Paris Date d'inscription : 27/12/2006
| Sujet: Re: difficile inégalité Lun 30 Avr 2007, 21:15 | |
| - ahmadoustra a écrit:
- Je vous donne des indications:
posez x = a + b , y = b + c et z = c + a puis p = x + y + z;
x , y et z sont alors les cotés d'un triangle. p est son périmetre. l'égalité devra avoir lieu pour un triangle equilateral... ( je n'ai fait aucun calcul...)
bon courage, at pour abc = 1 | |
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elhor_abdelali Expert grade1
Nombre de messages : 489 Age : 62 Localisation : Maroc. Date d'inscription : 24/01/2006
| Sujet: Re: difficile inégalité Mer 09 Mai 2007, 21:38 | |
| Bonsoir ; (*) Je traite le cas où ab+bc+ca >= a+b+c : (a+b)(b+c)(c+a)+4 = (a+b)(b+c)(c+a)+4abc = a(b+c)²+b(c+a)²+c(a+b)² et par convexité de x-->x² (a+b)(b+c)(c+a)+4 >= 4(a+b+c)(ab+bc+ca)²/(a+b+c)² pour l'autre cas je réfléchis encore (sauf erreur) | |
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ahmadoustra Débutant
Nombre de messages : 6 Localisation : au dela de l'horizon Date d'inscription : 25/04/2007
| Sujet: Re: difficile inégalité Ven 18 Mai 2007, 12:25 | |
| hmmm, je me demande bien prk ma 1ere idée ne marchait pas? pourtant un petit passage par la formule d'héron devrait bien arranger les choses et qlq formules de trigo... bref, une autre méthode conciste à homégéniser l'inégalité; ce qui nous conduit à poser a=x/y, b=y/z et c= z/x avec x,y et z positifs. ceci dit, et sans me lancer dans les calculs, on demontre que l'inégalité à démontrer s'écrit:
6*(xyz)^2 + { (xy)^3 +(yz)^3 + (zx)^3 } + xyz{ x^3 + y^3 + z^3 - 4( zx^2 + xy^2 + yz^2 )} >= 0
c'est pas trop sympa tout ça, mais on voit qu'on n'a pas bcp de symétries dans cette inégalité... alors on traitera une autre plus général, pour retrouver l'inégalité d'origine, il suffira d'ordonner x,y et z et d'utiliser l'inégalité du réordonnement... ( ça se complique ? )
bref on cherche mnt a démontrer :
6*(xyz)^2 + { (xy)^3 +(yz)^3 + (zx)^3 } + xyz{ x^3 + y^3 + z^3 - 2( zx^2 + xy^2 + yz^2 + xz^2 + yx^2 + zy^2)} >= 0
le membre droit n'est que la somme des termes suivants, en changeant les roles de x,y et z...
1/2z(x-y)^2{ (x+y)z^2 - 2xyz + xy(x+y) }
la question mnt est de savoir si : (x+y)z^2 - 2xyz + xy(x+y) >=0
ceci est vrai , + fct continue en z prenant des valeurs > 0 et ne s'annulant jamais (car son discriminant est négatif)
voila...
y a-t-il une solution plus simple? j'espere n'avoir pas fait d'erreur de calcul... | |
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radouane_BNE Modérateur
Nombre de messages : 1488 Localisation : Montréal Date d'inscription : 11/01/2006
| Sujet: Re: difficile inégalité Mar 22 Mai 2007, 17:06 | |
| Cette solution est due à moi. D’après l’identité classique on a : (a+b) (b+c) (c+a) = (a+b+c) (ab+bc+ca)-abc = (a+b+c) (ab+bc+ca)-1 L’inégalité proposée est équivalente à ** (ab+bc+ca) +3/ (a+b+c)>=4 Posons x=1/a=bc ; y=1/b=ca et z=1/c=ab. Donc ** (a+b+c)/3+3/(xy+yz+zx)>=4. D’après AM/GM on a 3*(x+y+z)/3+3/ (xy+yz+zx)>=4rac4 (((x+y+z)/3) ^3*(3/xy+yz+zx)) Alors il suffit de montrer que (x+y+z) ^3>=9(xy+yz+zx) Or (x+y+z)>=3(xy+yz+zx) et (x+y+z)>=3 d’où la réponse désirée. | |
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ahmadoustra Débutant
Nombre de messages : 6 Localisation : au dela de l'horizon Date d'inscription : 25/04/2007
| Sujet: Re: difficile inégalité Mer 23 Mai 2007, 07:24 | |
| oui effectivement c'est plus simple... mais il faut pas voir dans ma solution que du calcul bourrin. L'idée est qu'une inégalité peut toujours être démontrer juste en factorisant. souvent ceci conduit à de belles démonstrations... mais au moins tu es sur de trouver la solution :-) bien joué | |
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Alaoui.Omar Expert sup
Nombre de messages : 1738 Age : 34 Localisation : London Date d'inscription : 29/09/2006
| Sujet: Re: difficile inégalité Mer 23 Mai 2007, 11:07 | |
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Dernière édition par le Ven 22 Juin 2007, 20:28, édité 2 fois | |
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Conan Expert sup
Nombre de messages : 1722 Age : 34 Localisation : Paris Date d'inscription : 27/12/2006
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| Sujet: Re: difficile inégalité | |
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