pr integr

1- f : x-> x si x est rationnel -x si non
f admet elle une primitive sur IR ? ( niv BAC )
-2montrez que
I= int_{o}^{pi/2}ln(sin(x)dx= -pi/2*ln(2)
(ne pas reflichir sur l'existance de I)

si f est integrable sur I f² aussi ,

la réciproque est elle vraie sinchy?

Sinchy a écrit:

si f est integrable sur I f² aussi ,

Bonjour Sinchy ; tu as raison !!!!
Bonjour Mr AISSA!!!
Précisément vous offrez là avec votre Exo1 un excellent exemple qui illustre que la réciproque est FAUSSE !!Revenons donc à votre Exo1 , la fonction f est pathologique dans le sens suivant : elle est partout discontinue sur R*, son seul point de continuité est 0 . En tout point x0<>0 , l'OSCILLATION de f vaut 2.x0 et pour cette raison et à cause de la densité de Q er IR\Q dans IR , f ne peut etre approchée par des fonctions en escaliers ...... donc f non Riemann_Intégrable . LHASSANE

aissa a écrit:

1- f : x-> x si x est rationnel -x si non
f admet elle une primitive sur IR ? ( niv BAC )
-2montrez que
I= int_{o}^{pi/2}ln(sin(x)dx= -pi/2*ln(2)
(ne pas reflichir sur l'existance de I)

pourriez vs reformuler l'enoncé g pas compri!!

bonjour LHASSANE
l'exo1 est un exo du livre d'analyse de terminale sc m.
on veut alors une démonstration adaptée à ce niveau.

Bonsoir Mr AISSA !!
Cela ne m'étonne pas !!! Je ne connais pas ce qui se traite avec exactitude dans les programmes marocains , du moins jusqu'aux classes de Terminales !!!
Alors , que les lecteurs de ce Forum veuillent bien me pardonner , par contre
les gens de Sup-Spé , c'est cool, je crois !!!!!
LHASSANE

PS: Soyez assurés de ma bonne foi et que je ne suis là que pour aider ; j'attends avec sérénité cette Démo de l'Exo1 Version Sc-Maths !!!

pour la reciproque nn , contre exemple , considerons la fct f : [0.1]--> {1 si x £ Q et -1 si x £ R-Q , on a f² =cst =1 or f n'est pas integrable sur [0.1 ]

Bonsoir Sinchy !!!
On est OK là dessus et l'exemple de Mr AISSA est suffisant , le tien est valable aussi bien entendu !!!! Tu ne démérites pas !
Si tu es en Terminale Sc-MATHS , peux-tu nous donner la preuve de l'Exo1 et Merci d'avance ou bien me rappeler un Critère d'Intégrabilité vu à ce niveau là !!!!! LHASSANE

oki pas de probleme

il faut montrer que la fct n'est pas continue en aucun point de IR , en effet soit x0 £ Q on pose Tn=[2^nx0]/2^n+rac(2)/n , on a Tn--->x0 mais f(Tn)-nn--> f(x0) , si x0 £R-Q on pose Rn=[2^nx0]/2^n

Bonjour Sinchy !!!!
C'est bien ce que j'annonçais dans mon Post :
<<Revenons donc à votre Exo1 , la fonction f est pathologique dans le sens suivant : elle est partout discontinue sur R*, son seul point de continuité est 0 >>
Je ne comprends pas ?????? LHASSANE

bonsoir BOURBAKI , j'ai pas bien saisie l'idee que f est pathodologique , merci , pour la reciproque j'ai trouve une autre fois une condition , comme exemple f : ]a.b[ , a ,et b sont finies , si on suppose que f² est integrable => on aplique Cauchy schwartz , pour tout x £ [a.b[de meme pour ]a.b]

BJR Sinchy !!
Cela veut dire que la fonction est un peu SPECIALE dans la mesure ou elle est définie sur les rationnels par qquechose et sur les irrationnels par autre chose et donc elle est de manipulation non courante et exige précaution de manipulation ( car Q est dense dans IR) !!!!!

pour la question 2-) utiliser Rieman , c-a-d I=lim pi/2n (sum"k"ln(sin(kpi/n))) avec k £ [(1,n-1)] avec n-->00 , et produit "k"sin(kpi/n)=n/2^(n-1) , facile a verifiee puis on conclus

bravo sinchy
pour l'existance :ln(sinx) est equiva à ln(x) au voisinage de o!!
on peut aussi montrez que
1- I=int_{o}^{pi/2}ln(sin(x))dx=int_{o}^{pi/2}ln(cos(x)dx
2- calculez 2I utilisez ln(sin(x)cos(x))=-ln(2)+ln(sin(2x) et posez 2x=t ; puis relation de chasls
bon courage.

j'ai deja signaler ,