racine(u_n)-racine(v_n) ---> 0

Soit (u_n) et (v_n) deux suites positifs telles que u_n-v_n ---> 0.
Montrer que racine(u_n)-racine(v_n) ---> 0

Bonsoir abdelbaki ;
Je crois que c'est la traduction séquentielle de l'uniforme continuité de la fonction x-->racine(x) sur [0,+oo[

Bonjour Abdelali. Bien vu.

N'est-ce pas plus simple de dire que pour
$$u_n>0$$
$$v_n>0$$
$$u_n-v_n=(\sqrt{u_n}-\sqrt{v_n})(\sqrt{u_n}+\sqrt{v_n})$$
Alors si
$$v=\lim_{i\longrightarrow{\infty}}{(v_n)}$$
$$u-v=(\sqrt{u}-\sqrt{v})(\sqrt{u}+\sqrt{v})$$
et
$$u-v=0\Rightarrow{\sqrt{u}-\sqrt{v}=0}$$