problème N°82 de la semaine (21/05/2007-27/05/2007)

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

ce probleme est destine a quel niveau?

Solution postée
(a tous je pense)
voici la solution de raa23
a,b et c jouent des roles symétriques
de plus ils sont dans [0,1]
on définit f(x)=4x^2/(1+4x^2)

et g=f°f°f

il suffit de chercher les points fixes de g (ou les zeros de h=g-Id)

on remarques que (0,0,0) et (1/2,1/2,1/2) sont les uniques
points fixes de f (donc ils sont soluton)
d'autre part h(0)=0 et h'(x)<=0 donc h est décroissante
donc on a bien les 2 seules solutions

Raa23

Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki.attioui
Bonjour,
si (a,b,c) est solution. Alors, il est clair que a,b et c sont dans [0,1[.
Mais, a(1-2c)²=a(1+4c²)-4ac=4c(c-a) ==> c>=a. De même on a aussi a>=b et b>=c.
==> a=b=c ==> a(1-2a)²=0 ==> a=0 ou a=1/2
Donc (a,b,c)=(0,0,0) ou (a,b,c)=(1/2,1/2,1/2)
Inversement, 0 et 1/2 sont les seuls points fixes de la fonction f définie sur IR par:
f(x)=4x²/(1+4x²).
A+

salam
solution postée
منتوجحضاري= انسان+تراب+وقت
voici la solution d'aissa
salut samir:
voilà ma solution
si (a,b;c) est solution alors a , b et c sont tous positifs:
première methode:
on compare a , b et c on trouve
a=<c=<b=<a donc a=b=b
puis on resoud léquation a=b on trouve a=o ou a=1/2
alors (a,b,c)=(o,o,o) ou (a,b,c)=(1/2;1/2,1/2).
reciproquement on verifie que (o,o,o) et (1/2,1/2;1/2) sont solutions
2 ieme methode
on considère f(x)=4x²/(1+4x²)
on verifie qie f(x)=< x pour tout x >=o
alors: a=f(c)=>c=f(b)=<b=f(a)=<a
donc a=b=c et f(x)=x<=> x=o ou x=1/2
et conclure.
on peut generaliser
resoudre dans IR^n
x_i=2nx²_(n-i+1)/(1+n²x²_(n-i+1)),i=1...(n-1)
x_n=2nx²_1/(1+n²x²_1)

Bonjour Mr SAMIR
Solution du Pb 82 postée ce jour!!!
Amitiés !!!! LHASSANE
voici la solution de BOURBAKI
Bonjour Mr SAMIR !!
Elle est paire
Prend ses valeurs dans [0,1[
Sa restriction à R+ est strictement croissante (*)
Il en résultera par construction que a,b et c sont dans [0,1[ .
On va montrer :
1 ) Si le triplet (a,b,c) est solution du système proposé alors nécessairement
a=b=c
2) La valeur commune de a,b et c est un point fixe de f qu’il sera facile de chercher .

1) Supposons que (a,b,c) est solution du système , montrons par exemple que nécessairement a=b .
Sinon :
Si a<b alors f(a)<f(b) car (*) c'est-à-dire b<c mais alors toujours à cause de (*)
f(b)<f(c) soit c<a ce qui est absurde car a<b<c .
Si b<a alors f(b)<f(a) car (*) c'est-à-dire c<b mais alors toujours à cause de (*)
f(c)<f(b) soit a< c ce qui est absurde car c<b<a .
CONCLUSION : a=b
Il résulte directement de cela que f(a)=f(b) soit b=c et ainsi on a a=b=c .
2) Puisque a=b=c alors a=f(a) donc a est point fixe de f .
Les points fixes de f s’obtiennent en résolvant l’équation
a .(1+4a^2)=4a^2
soit :tous calculs faits : a.(2a-1)^2=0
d’où a=0 ou a=1/2
Les solutions cherchées sont en nombre de deux :
(0,0,0) et (1/2,1/2,1/2) .

Bonjour
Solution postée
voici la solution de khamaths
Bonjour Samir

posons : f(x) = 4x²/ (1+4x²) et g = f o f o f
Il est clair que f :[0;1]--------> [0;1] est continue et croissante.
Le problème 82 revient à détérminer les points fixes de g.
(*) g(0) = 0 =====> (0;0;0) est une solution du système.
(*) g :]0;1]--------> ]0;1] est continue et strictement croissante
======>il éxiste ! a ¤ ]0;1] / g(a) = a
g(a)=a ====> g[f(a)] = f(a)
=====> f(a) = a
=====> 4a² -a-4a^3 = 0
=====> 4a² -4a +1 = 0
=====> a = 1/2

Conclusion : S = { (0;0;0) ; (1/2 ;1/2 ;1/2) }

2 ème méthode plus facile
Avec les mmes notations de ma première méthode

supposons a<= b <= c ====> f(a) <= f(b)<= f(c)
=====> b<= c <= a
D'oû a=b=c
Or f(x) =x <===> x=0 ou x=1/2

S = { (0;0;0) ; (1/2;1/2;1/2) }

Bonsoir,
Solution postée !
cordialement
voici la solution de Jamel Ghanouchi

Bonsoir ;
Solution postée
voici la solution d'elhor abdelalai
Bonjour Samir ;
Condition nécessaire : Soit (a,b,c) est une solution , il est clair que a , et c sont des réels positifs .
Et vu que pout tout réel positif x on a 4x²/(1+4x²) =< x ( avec égalité pour x = 0 ou x = 1/2 )
on voit que a = b = c et donc que 4a²/(1+4a²) = a
ce qui donne (a,b,c) = (0,0,0) ou (a,b,c) = (1/2,1/2,1/2).
Condition suffisante : les deux triplets (0,0,0) et (1/2,1/2,1/2) étant clairement solutions
on conclut que S = { (0,0,0) , (1/2,1/2,1/2) } (sauf erreur bien entendu)

bonjour samir
solution postée
voici la solution de conan
bonjour samir

si on élimine la solution evidente (0,0,0) , on trouvera apres un développement l'equation suivante , soit pour a ou b ou c
[car a et b et c jouent un role symetrique] :

16564*x^8-11664*x^7+1120*x^6+204*x^4+16*x^2+1 = 0

si on pose f(x) = 16564x^8-11664x^7+1120x^6+204x^4+16x^2+1 = 0
on trouvera que f(x) >= f(0) = 1 donc f(x) >= 1

c.à.d la seule solution possible est : (0,0,0)

solution postée
voici la solution de stof065
S :A=4c²/1+4c²
Et b=4a²/4a²+1 Et c=4b²/1+4b²
abc=4^3a²b²c²/(1+4a²)(1+4b²)(1+4c²)abc(4^3abc-(1+4a²)(1+4b²)(1+4c²))/(1+4a²)(1+4b²)(1+4c²)=0
On (1+4a²)(1+4b²)(1+4c²) différent a 0
abc(4^3abc-(1+4a²)(1+4b²)(1+4c²))/(1+4a²)(1+4b²)(1+4c²)=0 abc(4^3abc-(1+4a²)(1+4b²)(1+4c²))=0
abc=0 ou 4^3abc-(1+4a²)(1+4b²)(1+4c²)=0
a=0 ou b=0 ou c=0 OU 4^3abc-(1+4a²)(1+4b²)(1+4c²)=0
si a=0 on a b=0 et c=0
on a 1+4a²>=4a pour les autres aussi on déduit que (1+4a²)(1+4b²)(1+4c²)>=4^3abc
-(1+4a²)(1+4b²)(1+4c²)+4^3abc<=0
Cas de égalité
4a²=1 et 4b²=1 et 4c²=1 et 4d²=1  a=b=c=1/2 (car a et b et c £ R+)
On déduit que S={(0.0.0),(1/2.1/2.1/2)}
SToF065
A+