| | c'est l'été |  |
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radouane_BNE
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| | Sujet: c'est l'été Sam 09 Juin 2007, 12:06 | |
| A vous les bacheliers, c’est l’été.
1- Soient a et b deux réels de l’intervalle [0, pi/2].
Prouver que sin^6(a)+3*sin^2(a)*cos^2(b) +cos^6(b)=1 si et seulement si a=b.
2- soient a, b et x des réels tels que a, b>=0 et 0<x<pi/2.
Montrer que (1+ (a/sin(x)))*(1+ (b/cos(x)))>= (1+rac (2ab)) ². | |
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thomas
Maître
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| | Sujet: Re: c'est l'été Lun 11 Juin 2007, 18:27 | |
| Salut  Supposons a=b Alors :  Or,  D'où le résultat | |
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thomas
Maître
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| | Sujet: Re: c'est l'été Lun 11 Juin 2007, 18:33 | |
| Supposons la relation égalé à 1. En arrangeant un peu, on se retrouve avec l'équation :  où  Les seules solutions réelles sont X=0 Donc sin(a)=sin(b) ie a=b+2kPi ou a=Pi-b+2kPi Une condition suffisante est donc a=b par exemple | |
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radouane_BNE
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| | Sujet: Re: c'est l'été Lun 11 Juin 2007, 18:41 | |
| oui c'est juste.et la 2 question! | |
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thomas
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| | Sujet: Re: c'est l'été Lun 11 Juin 2007, 18:44 | |
| Je cherche  | |
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stof065
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| | Sujet: Re: c'est l'été Mer 13 Juin 2007, 09:52 | |
| slt pour la 2 on a (1+ (a/sin(x)))*(1+ (b/cos(x)))=1+b/cos(x) + a/sin(x) + ab/sin(x)cos(x) on a a/sin(x) + b/cos(x)>=2rac((ab)/(cos(x)sin(x)) (1+ (a/sin(x)))*(1+ (b/cos(x)))>=1+2rac((ab)/(cos(x)sin(x))+ab/sin(x)cos(x)=[1+rac((ab)/(cos(x)sin(x))]² on a cos(x)sin(x)=1/2sin(2x) et 0<2x<pi et 1/2sin(2x)<=1/2 1/cos(x)sin(x)=2/sin(2x)>=2 on deduit 1+ (a/sin(x)))*(1+ (b/cos(x)))>=[1+rac(2ab)]² | |
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stof065
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| | Sujet: Re: c'est l'été Mer 13 Juin 2007, 10:04 | |
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radouane_BNE
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| | Sujet: Re: c'est l'été Mer 13 Juin 2007, 10:23 | |
| oui c'est tout à fait juste
Pour la première question.
On sin^6(a) +3*sin^2(a)*cos^2(b) +cos^6(b) =1
(sin²a)^3+ (cos²b) ^3+ (-1) ^3-3(sin²a) (cos²b) (-1) =0
On va utiliser l’identité classique x^3+y^3+z^3-3xyz=1/2(x+y+z) ((x-y) ²+(y-z) ²+ (z-x) ²)
Posons x=sin²a, y=cos²b et z=-1 ; donc on en déduit que x+y+z=0 ou
((x-y) ²+(y-z) ²+ (z-x) ²=0, la dernière équation implique sin²a=cos²b=-1 ce qui est impossible. Donc x+y+z=0 c'est-à-dire sin²a=1-cos²bsin²a=sin²b=>a=b(car 0=<a,b=<pi/2.
Si a=b
Or sin^6(a) +3*sin^2(a)*cos^2(a) +cos^6(a) = (sin²a+cos²a) (sin^4a-sin²a*cos²a+cos^4a) +3sin²a*cos²a= (sin²a+cos²a)-3*sin²acos²a+3*sin²acos²a=1 | |
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badr
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| | Sujet: Re: c'est l'été Ven 15 Juin 2007, 19:11 | |
| pour le 2° c'est une cas particuliers de
x+y=1 et x:y>0
(1+1/x^n)(1+1/y^n)>=(1+2^n)² | |
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abdellatif
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| | Sujet: Re: c'est l'été Lun 09 Juil 2007, 12:13 | |
| vraiment c est l ete la premier question est un peu deficile uuuuf
[/img][/b] | |
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saiif3301
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| | Sujet: Re: c'est l'été Lun 09 Juil 2007, 14:15 | |
| pour ton exo (1+1/x^n)(1+1/y^n)=1+1/x^n +1/y^n +1/(xy)^n et on a (1/x)^n=(x+y/x)^n=(1+y/x)^n aussi pour 1/y^n donc on a 1/x^n +1/y^n =(1+y/x)^n +(1+x/y)^n>2rac((1+x/y)(1+y/x))^n>=2rac(2+x/y/y/x)^n>=2rac4^n=2^(n+1) est on a (1/xy)^n=((x²+y²+2xy)/xy)^n =(x²+y²/xy +2)^n>(2+2)^4=4^n donc on a 1+1/x^n +1/y^n +1/(xy)^n>=1+2^(n+1) +4^n=1+2*2^n+2^2n=(2^n +1)² | |
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| | Sujet: Re: c'est l'été | |
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