vecteurs dans l'espace pr demain

Exercice 1
ABCD est un tétraèdre régulier d'arête a. On note G son centre de gravité.
1. Démontrer que les vecteurs:
AB. AC= AC. AD= AD. AB=a²/2 et qu'il en est de même pour les autres sommets.
2. Démontrer que deux arêtes opposées sont orthogonales.
3. Soit A' le centre de gravité du triangle BCD. Exprimer AG en fonction de AA

Exercice 2
On donne A(1, -2, 3), B(0, 4, 4) et C(4, -20, 9).
Les points A, B et C sont-ils alignés ?

Exercice 3
On donne A(-3 , 1, 4), B(-2, -1, 7), C(-4, -1, -2) et D(-5, -5, 4).
Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ?

bsr, j'ai 3 exos pour lequel j'aurais besoin d'aide. Expliquer en détails pour que je puisse bien comprendre et encore merci BCP bisous à tous:cheers:

Bonjour ! (tard vaut mieux que jamais)
Exercice 1:
1 AB.AC = 1/2 (AB²+AC²-BC²) = 1/2 ( a²+a²-a²) = a²/2
car ABCD est un tétraèdre régulier d'arête a. De meme pour les autres
2 [DC] et [AB]sont deux arêtes opposées, on calcule le produit scalaire :
DC.AB = (DA+AC).AB = DA.AB+AC.AB = -AD.AB+AC.AB = 0
donc (DC) et (AB) sont perpendiculaire. De meme pour AC et BD, BC et AD.
3 G est le centre de gravité de ABCD ==> G est le barycentre des points pondérés (A,1) (B,1) (C,1) et (D,1)
donc (1+1+1+1)A'G = 1A'A+1A'B+1A'C+ 1A'D
et on a A' est le centre de gravité du triangle BCD<==> A'D+A'B+A'C = 0
Or 4A'G = A'A d'où AG = 3/4 AA' (reletion de chasles)

Exercice 2:
AB (0-1, 4+2, 4-3) <==> AB(-1, 6, 1)
AC (4-1, -20+2, 9-3) <==> AC (3,-18,6)
-18/6 # 6/1
donc A B et C ne sont pas alignés

Exercice 3:
(AB) et (CD) sont paralelles si et si seulement AB et CD sont colinéaires
AB ( 1, -2, 3)
CD (-1, -4, 6)
on pose x=1 y=-2 z=3 et x'=-1 y'=-4 z'=6
Pour que les deux vecteur soient colinéaires, il faut quon aie le système suivant :
yz' -zy' = 0
zx' - xz' = 0
xy' - yx' = 0
On fait les calcules, on trouve que les coordonnés des deux vecteurs ne réalisent pas le systeme, donc (AB) et (CD) ne sont pas paralelles.

J'espère que je n'ai pas fait de betises