EXERCICE 4
L’espace est muni dun repère orthonormal o i j k (vecteurs)
Soit (P1) le plan d’équation cartésienne −2x+ y +z −6 = 0 et (P2) le plan d’équation
cartésienne x −2y +4z −9 = 0.
1. Montrer que (P1) et (P2) sont perpendiculaires.
On rappelle que deux plans sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur
normal non nul à l’un est orthogonal à un vecteur normal non nul à
l’autre.
2. Soit (D) la droite d’intersection de (P1) et (P2).
Montrer qu’une représentation paramétrique de (D) est :
x = −7+2t
y = −8+3t
z = t
(t ∈ R).
3. Soit M un point quelconque de (D) de paramètre t et soit A le point de coordonnées
(−9 ; −4 ; −1).
a. Vérifier que A n’appartient ni à (P1), ni à (P2).
b. Exprimer AM2 en fonction de t .
c. Soit f la fonction définie sur R par f (t ) = 2t 2 −2t +3.
• Étudier les variations de f .
• Pour quel point M, la distance AM est-elle minimale ?
Dans la suite, on désignera ce point par I.
• Préciser les coordonnées du point I.
4. Soit (Q) le plan orthogonal à (D) passant par A.
a. Déterminer une équation de (Q).
b. Démontrer que I est le projeté orthogonal de A sur (D).
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