Equation fonctionnelle f(x+f(y))=f(x*f(y))

Bonjour,

Déterminer toutes les fonctions de |R dans |R qui vérifient :

f( x+f(y) ) = f( x*f(y) )

slt a tout donc on supposant x=0 donc on a
f(f(y))=f(0)
alors f(y)=0
donc f est une fonction nulle

ali 20/20 a écrit:

slt a tout donc on supposant x=0 donc on a
f(f(y))=f(0)
alors f(y)=0
donc f est une fonction nulle

Bonjour Ali 20/20,

Non, on ne peut pas déduire de f(f(y))=f(0) que f(y)=0, sauf si on a pu démontrer d'abord que f est injective, ce qui n'est pas le cas.

Exemple de solution non constante au problème posé :

f(x)=1 si x est rationnel et f(x)=2 si x est irrationnel.

En fait, ce problème possède une infinité de solutions non constantes qui me paraissent très difficiles à caractériser. Je suis intéressé par la solution de Infophile.