Exo N°4 Olympiades Vietnam 2007

Dans un triangle ABC, la bissectrice de l'angle BCA coupe le cercle circonscrit au point R, coupe la médiatrice de BC au point P et coupe la médiatrice AC au point Q.Le milieu du segment BC est le point K et le milieu du segment AC est le point L.Montrer que les triangles RPK et RQL ont la même aire.

NB: ya jsute une petite erreur dans l'énoncé, le deuxième point est un P et non R.

cet exercice est plutôt calcultoire, il ne présente aucune difficulté puisqu'on arrive à calculer toutes les distances et tous les angles assez facilement.
je vais donner directement les résulats. comme ça vous pouvez vérifier avec vos solutions.

S(RPK) = 0.5*PK*PRsin(RPK)
Pk = (a/2)*tan(C/2)
RP = (asin(B))/(2cos(C/2)sin(A))
RPk = pi/2 + C/2

S(RQL) = 0.5*QR*QL*sin(RQL)
QR = a/(2cos(C/2))
QL = b/2tan(C/2)
RQL = pi/2+C/2

voila!

soit o le centre du cercle.
on a :<OPQ=<OQP=90-<C/2donc OP=OQet OC=OR=rayon donc CQ=PR et on a CPKet CLQ sont semblables donc KP/QL=CP/CQ donc QR*QL=KP*PR et <LQR=<RPK et la formule aire=1/2absinC ce qui est voulu.