Problème d'aout 2007

Déterminer le polynome p(x) de degré inférieur à 3 qui minimise
max { |cos(4pi x) − p(x)| / x dans [0,1]}

Salut,
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comment on va minimiser un max?

Bonjour ,
Solution postée .


Salut Mr abdelbaki.
en etudiant le signe de cos(4pi.x) sur [0,1]
♦♦♦♦♦|1..1/8...1/4...3/8...1/2...5/8....3/4...7/8.....1[/url]|
cos(4pi.x)|1.+.0._..-1._..0.+..1.+..0._..-1._...0..+..1|
alors f(t)=cos(4pi.x) change de signe 5 fois.et prend la valeur 1 en trois points.
posons g(x)=|P(x)-cos(4pi.x)|=|P(x)-f(x)|.
on remarque que le polynome nulle rend ce max =1 demontrons que 1 est la valeur minimale de max|p(x)-cos(4pix)|
ben P est de degré =<3 .!!
alors ou bien P admet une solution ou bien 2 ou bien trois solutions.
♣♠ si P admet trois zeros alors elle change de signe au plus 4 fois (dans cet ordre -,+,-,+)
d'ou il existe un intervalle I (I n[0,1]#Ø) dans lequel on a ou bien :
1 ) 1£f(J) et (qq soit x de J P(x)<0). ==> |1-P(x)|>1
2 ) -1£f(J) et (qq soit xde J: P(x)>0 ) |-1-P(x)|>1
et dans les deux cas .max g(x)>1 .
on fait la mm chose pour les deux cas restants (plus facil que ce cas !!) .
♦♦♦ conclusion.
alors le seul polynome minimisant max de g(x) ( c a d ,qui le rend =1 !!) est le polynome nul. (sauf erreure de ma part.)
alors P=0.
merçi

Solution postée

+salut tout le monde et merci Monsieur pour ce joli problème.

La solution de ce problème est le polynôme nul (p(x)=0).

Supposons qu’il existe un polynôme de degrés inférieur à trois qui minimise M.

Supposons que: M=max0=<x=<1|cos (4*pi*x)-p (x)|<1.

D’où pour tout x appartenant à [0,1] on a : cos (4*pi*x)-1=< p(x) =< 1+cos (4*pi*x).

Pour x=0,1/2,1 p prend des valeurs positifs.

Pour x=1/4,3/4 p prend des valeurs négatifs.

Nous savons bien que les polynômes sont continus, alors d’après le théorème des valeurs intermédiaires alors quelque part entre 0 et ¼, quel que part entre ¼ et ½, quelque part entre ½ et ¾ et quel que part entre ¾ et 1 le polynôme p prend la valeur 0, et cela veut dire que le polynômes a au moins quatre racines, mais on sait qu’un polynômes de plus de troisième degrés ne peut avoir que trois racines sauf le polynôme nul.

Alors il faut que M=max0=<x=<1|cos (4*pi*x)-p (x)|>=1. Dans ce cas le polynôme p(x)=0 minimise M et cette dernière atteint la valeur M=1.

Merci pour lire mon essaie !