inegalites(po de ma creation)

Soient a,b,c des réels positifs vérifiant a²+b²+c²=3, montrer

12+9abc>=7(ab+ac+bc)

Soient a,b,c des réels positifs vérifiant abc=1, montrer

2(a²+b²+c²)+12>=3(a+b+c)+3(ab+ac+bc)

Soient a,b,c et k des réels positifs, montrer

1/(a+b) +1/(a+c)+1/(b+c)+k/(a+b+c)>=RACINE((k+1)/ab+ac+bc))

saad007 a écrit:

Soient a,b,c des réels positifs vérifiant a²+b²+c²=2, montrer

12+9abc>=7(ab+ac+bc)

Soient a,b,c des réels positifs vérifiant abc=1, montrer

2(a²+b²+c²)+12>=3(a+b+c)+3(ab+ac+bc)

Soient a,b,c et k des réels positifs, montrer

1/(a+b) +1/(a+c)+1/(b+c)+k/(a+b+c)>=RACINE((k+1)/ab+ac+bc))

dsl

neutrino a écrit:

saad007 a écrit:

Soient a,b,c des réels positifs vérifiant a²+b²+c²=2, montrer

12+9abc>=7(ab+ac+bc)

Soient a,b,c des réels positifs vérifiant abc=1, montrer

2(a²+b²+c²)+12>=3(a+b+c)+3(ab+ac+bc)

Soient a,b,c et k des réels positifs, montrer

1/(a+b) +1/(a+c)+1/(b+c)+k/(a+b+c)>=RACINE((k+1)/ab+ac+bc))

1)
12= 6 (a²+b²+c²) >= 6 (ab+ac+bc) alors il suffi de demontrer
que 9abc >= ab+ac+bc cad 9 >= 1/a + 1/b + 1/c
d'après chebychev ( a²+b²+c² ) ( 1/a^4 + 1/ b^4 + 1/c^4) <= 3 ( 1/a²+1/b²+1/c²)
==> ==> 2 ( (1/a²+1/b²+1/c²)²/3 <= 3 ( 1/a² + 1/b² + 1/c²) ==> 2 ( 1/a² + 1/b² + 1/c² ) <= 9
==> 2 ( 1/a + 1/b + 1/c )² /3 <=9 ==> ( 1/a + 1/b + 1/c ) <= rac( 27/2) <= 9 (sauf erreur )

cette inegalitee est fausse prendre a suffisamment petit (a=0.001 par ex)

saad007 a écrit:

Soient a,b,c des réels positifs vérifiant a²+b²+c²=2, montrer

12+9abc>=7(ab+ac+bc)

Soient a,b,c des réels positifs vérifiant abc=1, montrer

2(a²+b²+c²)+12>=3(a+b+c)+3(ab+ac+bc)

Soient a,b,c et k des réels positifs, montrer

1/(a+b) +1/(a+c)+1/(b+c)+k/(a+b+c)>=RACINE((k+1)/ab+ac+bc))

pour le premier , je crois que a²+b²+c² = 3

Conan a écrit:

saad007 a écrit:

Soient a,b,c des réels positifs vérifiant a²+b²+c²=2, montrer

12+9abc>=7(ab+ac+bc)

Soient a,b,c des réels positifs vérifiant abc=1, montrer

2(a²+b²+c²)+12>=3(a+b+c)+3(ab+ac+bc)

Soient a,b,c et k des réels positifs, montrer

1/(a+b) +1/(a+c)+1/(b+c)+k/(a+b+c)>=RACINE((k+1)/ab+ac+bc))

pour le premier , je crois que a²+b²+c² = 3

Citation :

Soient a,b,c des réels positifs vérifiant abc=1, montrer

2(a²+b²+c²)+12>=3(a+b+c)+3(ab+ac+bc)

on pose : a+b+c=p et ab+bc+ca=q et abc=r=1

donc l'inego se transforme a : 2(p²-2q) +12 >= 3p+3q

<=> 2p² - 3p - 7q + 12 >= 0 *

et selon shurr (deg1)
<=> p^3-4pq+9r >=0 <=> q =< (p^3+9r)/4p = (p^3+9)/4p **

*et** <=> p^3 - 12p² + 48p - 63 >= 0

<=> (p-3) (p²-9p+21) >=0 <=> (p-3) [( p-9/2)² + 3/4] >=0

ce qui est juste car : p = a+b+c >= 3abc^1/3 = 3 d'ou le resultat

Citation :

Soient a,b,c des réels positifs vérifiant a²+b²+c²=3, montrer

12+9abc>=7(ab+ac+bc)

on pose : a+b+c=p et ab+bc+ca=q et abc=r

donc a²+b²+c² = 3 <=> p²-2q = 3 <=> q= (p²-3)/2 *

et l'inego devient : 12+9r - 7q >= 0 **

et selon shurr (deg1)
<=> p^3-4pq+9r >=0 <=> 9r >= 4pq -p^3***

(**)et(***) <=> 12+ 4pq -p^3 - 7q >= 0

ajoutant(*) ca devien : 2p^3 - 7p² - 12p +55 >= 0

on pose f(p) = 2p^3 - 7p² - 12 p + 55

on a f '(p)/2 = 3p²-7p-6 dont delta = 121 = 11²

d'ou p_1 = (7+11)/6 = 3 et p_2 = (7-11)/6 = -5/6

donc delta est negatif dans [0;3] , d'ou f est decroissante dans [0;3]

ce qui est le cas , car a²+b²+c² >= p²/3 <=> 9 >= p² <=> p =< 3

donk 0 =< p =< 3

d'ou f(3) =< f(p) =< f(0) <=> 10 =< f(p) =< 55

démonstration achevé

je vois que la technique propose par GUILAUMEB marche a merveille

Salut
je crois que ces exos figures dans le document envoyes par GUILLAUME.B et qui je tiens a lui remercier et encourager aussi .
ben pour le premier exo : on pose
a+b+c=p et ab+bc+ca=q et abc=r
* (4qp-p^3)/9=<r=<pq/9
selon les conditioons : p²-2q=3
linegalite devient a demontrer que :
* 12+9r>=7q *
>12+9r>=12+4pq-p^3
pour montrer * il suffit que 12+4qp-p^3>=7q ♣
<=>12+2(p²-3)p-p^3>=7(p²-3)/2
<=>24+4p^3-12p-p^3>=7p²-21
<=>3p^3-7p²-12p+45>=0
en considerant la fct f(x)=3x^3-7x²-12x+45 sur [rac(3),+00[
on trouve : f(x)>=f(2.1699..)>0
dou linegalite ♣ est juste dou *12+9r>=7q *
.

selfrespect a écrit:

Salut
je crois que ces exos figures dans le document envoyes par GUILLAUME.B et qui je tiens a lui remercier et encourager aussi .
ben pour le premier exo : on pose
a+b+c=p et ab+bc+ca=q et abc=r
* (4qp-p^3)/9=<r=<pq/9
selon les conditioons : p²-2q=3
linegalite devient a demontrer que :
* 12+9r>=7q *
>12+9r>=12+4pq-p^3
pour montrer * il suffit que 12+4qp-p^3>=7q ♣
<=>12+2(p²-3)p-p^3>=7(p²-3)/2
<=>24+4p^3-12p-p^3>=7p²-21
<=>3p^3-7p²-12p+45>=0
en considerant la fct f(x)=3x^3-7x²-12x+45 sur [rac(3),+00[
on trouve : f(x)>=f(2.1699..)>0dou linegalite ♣ est juste dou *12+9r>=7q *
.

woooooow , kelkun ki pe me filer un cours des fcts svp

soit a;b;c >0

montrer que :

a²/b² + b²/c² + c²/a² + 9(ab+bc+ca)/(a²+b²+c²) >= 12

et Bien sur , on dois essayer d'utiliser ces methodes de (p,q,r)

Conan a écrit:

soit a;b;c >0

montrer que :

a²/b² + b²/c² + c²/a² + 9(ab+bc+ca)/(a²+b²+c²) >= 12

et Bien sur , on dois essayer d'utiliser ces methodes de (p,q,r)

deja posté par boukharfane radouane ( lui osii a utiliser schuuuur)

je sais qu'elle est deja posté par lui , mais on veux une solution de cette maniére comme les autres avant