Longue à écrire, simple à résoudre

Trouver toutes les fonctions de R dans R vérifiant pour tous réels x et y :

f(x+y) = f(x^2-y^2) - f(2x^2 - 2y^2)/4 + (x+y)(y+1) + 1

*x=y ==>
f(2x)=3f(0)/4+2x(x+1)+1
*x=0 ==> f(0)=3f(0)/4+1 ==> f(0)=4
alors f(x)=2x²+2x+4
*reciproquement : f ne convient pas
il nexiste pas de fct verifiant cela. (je ne suis pas sur )

selfrespect a écrit:

*x=y ==>
f(2x)=3f(0)/4+2x(x+1)+1
*x=0 ==> f(0)=3f(0)/4+1 ==> f(0)=4
alors 2x²+2x+4
*reciproquement : f ne convient pas
il nexiste pas de fct verifiant cela. (je ne suis pas sur )

Bonjour Selfrespect,

Juste une erreur de calcul : c'est f(2x) qui vaut 2x²+2x+4 et donc f(x)=x²/2+x+4, qui fonctionne.

En fait, j'aime résoudre les équations mais j'ai du mal à fabriquer des problèmes. Ici, je voulais orienter sur une solution du type y=x-1, qui marche aussi. Mais bien sûr y=x est encore plus simple.

Bravo.

--
Patrick

pco a écrit:

selfrespect a écrit:

*x=y ==>
f(2x)=3f(0)/4+2x(x+1)+1
*x=0 ==> f(0)=3f(0)/4+1 ==> f(0)=4
alors 2x²+2x+4
*reciproquement : f ne convient pas
il nexiste pas de fct verifiant cela. (je ne suis pas sur )

Bonjour Selfrespect,

Juste une erreur de calcul : c'est f(2x) qui vaut 2x²+2x+4 et donc f(x)=x²/2+x+4, qui fonctionne.

En fait, j'aime résoudre les équations mais j'ai du mal à fabriquer des problèmes. Ici, je voulais orienter sur une solution du type y=x-1, qui marche aussi. Mais bien sûr y=x est encore plus simple.

Bravo.

--
Patrick

Salut ,
MR pco , en fait merci pour lexo et ben si vous permettez est ce que vous pouvez esayer avec cette equation ( ca fait longtemps que jessaye avec mais tjs rien )
soit 1>a>0
determiner tous les fcts derivables de R dans R verifiants ;
af(x)+(1-a)f(y)=f°(ax+(1-a)y)

merci.

selfrespect a écrit:

Est ce que vous pouvez esayer avec cette equation ( ca fait longtemps que jessaye avec mais tjs rien )
soit 1>a>0
determiner tous les fcts derivables de R dans R verifiants ;
af(x)+(1-a)f(y)=f°(ax+(1-a)y)

merci.

A droite, je pense que le "°" indique la dérivée : f'(ax+(1-a)y) ?

Dans ce cas, on déduit de l'équation que f' est dérivable (puisque la partie gauche l'est) et on dérive par rapport à x :

af'(x)=af''(ax+(1-a)y)

Donc f''(x)=constante. Donc f'(x)=constante

Donc f(x)=bx+c et en reportant dans l'équation, on a b=c=0

Et f(x)=0,

Sauf erreur

--
Patrick

pco a écrit:

selfrespect a écrit:

Est ce que vous pouvez esayer avec cette equation ( ca fait longtemps que jessaye avec mais tjs rien )
soit 1>a>0
determiner tous les fcts derivables de R dans R verifiants ;
af(x)+(1-a)f(y)=f°(ax+(1-a)y)

merci.

A droite, je pense que le "°" indique la dérivée : f'(ax+(1-a)y) ?

Dans ce cas, on déduit de l'équation que f' est dérivable (puisque la partie gauche l'est) et on dérive par rapport à x :

af'(x)=af''(ax+(1-a)y)

Donc f''(x)=constante. Donc f'(x)=constante

Donc f(x)=bx+c et en reportant dans l'équation, on a b=c=0

Et f(x)=0,

Sauf erreur

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Patrick

merci Mr pco cest une superbe remarque .

pour la derniere;
je crois aprés avoir montrer qu elle est derivable.
on pose y=x
d ou f'(x)=f(x)
c evident que f(x)=a*exp(x) a£R

ashoka a écrit:

pour la derniere;
je crois aprés avoir montrer qu elle est derivable.
on pose y=x
d ou f'(x)=f(x)
c evident que f(x)=a*exp(x) a£R

Certes, mais ceci est une condition nécessaire, pas suffisante.
Il faut toujours evenir dans l'équation initiale pour vérifier.
Et si on reporte f(x)=c exp(x) dans l'équation initiale, on trouve c=0.

Et donc la solution est f(x)=0, comme je l'avais déjà dit.

Ceci dit, votre méthode est beaucoup plus simple que la mienne (qui consistait à passer par la dérivée seconde).
Bravo.

--
Patrick


--
Patrick