trouver f

trouver toutes les fonctions définies de [0,1[ vers [0,+00[
vérifiant :
1-f est décroissante et dérivable sur [0,1[
2-f(1)=0 et (f-1)'(rac2)=-2rac(2)/3e

callo a écrit:

trouver toutes les fonctions définies de [0,1[ vers [0,+00[
vérifiant :
1-f est décroissante et dérivable sur [0,1[
2-f(1)=0 et (f-1)'(rac2)=-2rac(2)/3e

Bonjour Callo.

Que veut dire (f-1)' ?
La dérivée de f(x)-1 ?, c'est à dire la dérivée de f(x) ?
La dérivée de la réciproque de f(x) ?, ce qui signifie que f est inversible (donc décroissante stricte et dont l'image comprend au moins racine(2) ?

Par ailleurs, les seules contraintes étant les valeurs de f (ou f') en deux points donnent automatiquement une infinité de solutions.

Ne manque-t-il pas des données à votre problème ?

--
Patrick

je crois que non

callo a écrit:

je crois que non

OK.

Mais vous n'avez pas répondu à ma première question :

Que veut dire (f-1)' ?
est-ce la dérivée de f-1? (auquel cas il aurait été plus simple d'écrire f')
est-ce la dérivée de f^(-1) (réciproque)?
est-ce la dérivée de f^(-1) (inverse) ?

Merci de le préciser.

--
Patrick

slt
désolé j'ai oublié de répondre à votre question:
-dérivée de f^(-1) (réciproque)

callo a écrit:

slt
désolé j'ai oublié de répondre à votre question:
-dérivée de f^(-1) (réciproque)

Bonjour Callo,

Je résume :
1) f est définie de [0,1[ vers [0,+oo[
2) f est décroissante et dérivable sur [0,1[
3) f(1)=0
4) f^(-1)'(rac2)=-2rac2/3e

Quelques remarques d'abord :
f étant définie sur [0,1[, f(1) n'est pas défini et ne peut donc valoir 0
l'existence de f^(-1) ne peut se déduire de des points 1) et 2) que si la décroissance est stricte. Sinon, le point 4 est donc litigieux.

Je propose donc de modifier l'énoncé :
Soit f définie, continue, dérivable et strictement décroissante de [0,1] dans [0,+oo[ et vérifiant :
f(1)=0
a=rac2 appartient à Im(f)
f^(-1)(a)=b=-2rac2/3e

Soit encore :
Soit c dans [0,1[. On doit avoir :
f(0)=1
f(c)=a
f'(c)=d=1/b

Il s'agit juste de construire une fonction strictement décroissante, continue et dérivable sur [0,1], qui passe par les deux points (c,a) et (1,0) et dont la dérivée en c vaut d (négatif).

A l'évidence, il y a une infinité de fonctions de ce type, de toutes formes et on peut en construire aisément.

--
Patrick