[arethmetique]

montrer que pour tout a de Z :

a^561 = a[3]
a^561 = a[11]
a^561 = a[17]


puis deduire que : a^561=a[561]

Slt monterons : a^561 = a [3]
On a : a^561= (a^187)^3
(a^187)^3= a^187 [3] (théorème de Fermat) donc a^561= a^187 [3]
Et on a :
a^187= (a^11) (a^17) or on a :
*-(a^11)=a^5[3] et (a^17)=a^7[3] donc a^187= a^13 [3]
Et on a : a^13= a* (a^4)^3 donc a^13=a^5 [3] <==> a^187= a^5 [3]
Et aussi : a^5= a²*a^3 donc a^5=a^3 [3] <==> a^187= a^3 [3]
Et aussi : a^3 =a[3] <==> a^187= a [3]

a^561= a^187 [3] <==> a^561= a [3]
**Conclusion : pout tt a de Z a^561= a [3]
*-montrons que : a^561 = a[11]
On a : a^561= (a^51)^11
(a^51)^11= a^51 [11] (théorème de Fermat) donc a^561= a^51 [11]
Et on a :
a^51= a^7*(a^4)^11 donc a^51=a^11[11] <==> a^561= a^11 [11]
Et aussi : a^11 =a[11] <==> a^561= a [11]
**Conclusion : pout tt a de Z a^561= a [11]
*-monterons : a^561 = a [17]
On a : a^561= (a^33)^17
(a^33)^17= a^33 [17] (théorème de Fermat) donc a^561= a^33 [17]
Et on a :
a^33= a^17*(a^16) donc a^33=a^17[11] <==> a^561= a^17 [17]
Et aussi : a^17 =a [17] <==> a^561= a [17]
**Conclusion : pout tt a de Z a^561= a [17]

*/ déduisons que : a^561=a [561]
On pose p= a^561-a
On a d’après la première question :
-P= 0 [3] - p=3k
-P= 0 [11] <===> (k, m, n) de Z^3 / -p=11m
- P= 0 [17] -p=17n
Donc : 3k=11m or on a : pgcd(3,11)=1 donc 3/m <=> exist k’ / m=3k’
Et on a : p=11m<=> p=33k’ et on a p=17n
Donc : 33k’=17n or on a : pgcd(33,17)=1 donc 33/n <=> exist k’’ / n=33k’’
P=17n <=>p=561k’’ donc p=0 [561]
p=0 [561] <===> a^561-a=0 [561] donc a^561=a [561]

**conclusion tt a de z : a^561=a [561] (cet exercice est le théorème de chinois )

[/u]

fermat1988 a écrit:

Slt monterons : a^561 = a [3]
On a : a^561= (a^187)^3
(a^187)^3= a^187 [3] (théorème de Fermat) donc a^561= a^187 [3]
Et on a :
a^187= (a^11) (a^17) or on a :
*-(a^11)=a^5[3] et (a^17)=a^7[3] donc a^187= a^13 [3]
Et on a : a^13= a* (a^4)^3 donc a^13=a^5 [3] <==> a^187= a^5 [3]
Et aussi : a^5= a²*a^3 donc a^5=a^3 [3] <==> a^187= a^3 [3]
Et aussi : a^3 =a[3] <==> a^187= a [3]

a^561= a^187 [3] <==> a^561= a [3]
**Conclusion : pout tt a de Z a^561= a [3]
*-montrons que : a^561 = a[11]
On a : a^561= (a^51)^11
(a^51)^11= a^51 [11] (théorème de Fermat) donc a^561= a^51 [11]
Et on a :
a^51= a^7*(a^4)^11 donc a^51=a^11[11] <==> a^561= a^11 [11]
Et aussi : a^11 =a[11] <==> a^561= a [11]
**Conclusion : pout tt a de Z a^561= a [11]
*-monterons : a^561 = a [17]
On a : a^561= (a^33)^17
(a^33)^17= a^33 [17] (théorème de Fermat) donc a^561= a^33 [17]
Et on a :
a^33= a^17*(a^16) donc a^33=a^17[11] <==> a^561= a^17 [17]
Et aussi : a^17 =a [17] <==> a^561= a [17]
**Conclusion : pout tt a de Z a^561= a [17]

*/ déduisons que : a^561=a [561]
On pose p= a^561-a
On a d’après la première question :
-P= 0 [3] - p=3k
-P= 0 [11] <===> (k, m, n) de Z^3 / -p=11m
- P= 0 [17] -p=17n
Donc : 3k=11m or on a : pgcd(3,11)=1 donc 3/m <=> exist k’ / m=3k’
Et on a : p=11m<=> p=33k’ et on a p=17n
Donc : 33k’=17n or on a : pgcd(33,17)=1 donc 33/n <=> exist k’’ / n=33k’’
P=17n <=>p=561k’’ donc p=0 [561]
p=0 [561] <===> a^561-a=0 [561] donc a^561=a [561]

**conclusion tt a de z : a^561=a [561] (cet exercice est le théorème de chinois )

[/u]

je vois qu'il y a des erreurs dans ta démo , et tu peux le vérefier.

aprés cela , je donnerai ma démonstration

Cette démonstartion est trop longue !
il y a des chemins bcp plus courts !

voici ma démonstration :

3 est un nombre premier donc , selon le petit théoreme de Fermat :

a^3 = a[3] => a^4 = a²[3] => a^5 = a[3]

on remarque facilement que : P(k)={ pour tt k>=1 a^(2k+1) = a[3] }

preuve (reccurence) pour k=1 c'est triviale , supposons que P(k) est vraie.

soit k de N* , on a a^(2k+1) = a[3] => a^(2k+3) = a^3[3]

=> a^(2(k+1)+1) = a[3] => P(k+1) est vraie. or 561 = 2*280+1

=> a^561 = a[3]

11 est un nombre premier donc , selon le petit théoreme de Fermat :

a^11 = a[11] => a^21 = a^11[11] => a^21 = a[11]
donc on remarque que : pour tout k' de N* : a^(11+10k') = a[11] (facile à prouver comme l'autre avec reccurence) et on a : 561 = 11+10*55

=> a^561 = a[11]

17 est un nombre premier donc , selon le petit théoreme de Fermat :

a^17 = a[17] => a^33 = a^17[17] => a^33 = a[17]

donc on remarque que : pour tout k'' de N* : a^(17+16k'') = a[11] (facile à prouver comme l'autre avec reccurence) et on a : 561 = 17+16*34

=> a^561 = a[17]

alors ils existent ( m;n;h) de N^3* tel que :

a^561 - a = 3m = 11n = 17h . et on a : 3^11 et 3^17 et 17^11 = 1

selon Guass il existe q dans N tel que: 3m=11n=17h=3*11*17*q = 561q

d'ou a^561 = a[561]