joli arethmetique

Trouver tout les couples (x;y) d'entiers vérifiant :

1 + 2^x + 2^(2x+1) = y²

1+2^x+2^(2x+1)=1+2^x+2*2^2x
posons 2^x=X
donc on a
1+2^x+2^(2x+1)=y² <=> 1+X+2X²=y²
reste plus qu à tracer les deux courbes ,et trouver l unique solution (x;y)=(0;2)

o0aminbe0o a écrit:

1+2^x+2^(2x+1)=1+2^x+2*2^2x
posons 2^x=X
donc on a
1+2^x+2^(2x+1)=y² <=> 1+X+2X²=y²
reste plus qu à tracer les deux courbes ,et trouver l unique solution (x;y)=(0;2)

comment les tracer ?

2^x(1+2^(x+1)=(y-1)(y+1) si x=0 (y-1)(y+1)=3 d'ou y=2
si x>0 donc y-1 et y+1 vont etre (zawjyan) donc
2^(x-1)(1+2^(x+1)=(y-1)(y+1)/2
((y+1)/2 (fardi) ou (y-1)/2 (fardi)
le cas ou (y+1)/2 fardi onva trouve y-1=k*2^(x-1) et (y+1)/2*k=1+2^(x+1) si k=>4 (y+1)/2*k=>y+1 donc
1+2^(x+1)>y+1 donc 2^(x+1)>y et k*2^(x-1)>2^(x+1)
donc y-1>2^(x+1)>y est cela est faut donc k<=3
donc k=0 ou k=1 ou k=2 ou k=3 et on s'assure
et la meme chose pour 2^(x+1)

Conan a écrit:

o0aminbe0o a écrit:

1+2^x+2^(2x+1)=1+2^x+2*2^2x
posons 2^x=X
donc on a
1+2^x+2^(2x+1)=y² <=> 1+X+2X²=y²
reste plus qu à tracer les deux courbes ,et trouver l unique solution (x;y)=(0;2)

comment les tracer ?

on trace les deux fonctions f(X)=1+X+2X² et g(x)=X² sur un repert orthonormé , et on délimite notre étude sur IN