Bonjour.
Comme 18 est un diviseur de n alors 2,3,6,9 sont des diviseurs de n mais comme 1<2<3<6<9<18 alors cela impose que
d1=1;d2=2;d3=3;d4=6;d5=9;d6=18
Maintenant supposons l'existance de 4 diviseurs premiers de n.Le cas de 5 diviseurs premiers ou plus est impossible car si il est le cas alors d(n)>16.donc il existe au plus 4 diviseurs mais on va demontrer que le cas de 4 diviseurs lui aussi est un cas impossible.donc supposons leur existance.
donc (v2(n)+1)(v3(n)+1)(vp3(n)+1)(vp4(n)+1)=16
comme vp2(n)>=1 et vp3(n)>=1 meme pour les autres il s'en suit que (v2(n)+1)(v3(n)+1)(vp3(n)+1)(vp4(n)+1)>=16 avec égalité si et seulement si v2(n)=v3(n)=vp3(n)=vp4(n)=1 donc le plus grand exposant de 3 qui divise n est 1 ce qui est impossible puisque 9 divise n.donc le cas de 4 diviseur est impossible.
On suppose qu'il existe 2 diviseurs premiers qui sont bien 2 et 3 .
on a (v2(n)+1)(v3(n)+1)=16.
Si v2(n)>=2 on aura 4/n mais c'est impossible puisque d6=18.
donc v2(n)=1 et donc v3(n)=7 donc n=4374 mais un simple calcul nous permet de conclure que ce n'est pas le nombre recherché car il ny'a pas deux diviseurs tel que d9-d8=1.
Donc 3 diviseur de n existe.
On va démontrer que se sont 2,3,71 ou 2,3,37
soit p3 le troisième nombre premier recherché:
on a: (v2(n)+1)(v3(n)+1)(vp3(n)+1)=16
On a d9-d8=17 donc gcd(d9,d8)=1 car si 17/d9 donc 17/n impossible.
on a v2(n)=1 car si 4/n contradiction.
donc(v3(n)+1)(vp3(n)+1)=8 donc cela impose que 3/d9 et p3/d8
mais d9>=18 donc v3(n)>=3 ce qui implique vp3(n)<=1 donc
vp3(n)=1
donc les diviseurs de n sont:
1,2,3,6,9,18,27,54,p3,2p3,3p3,6p3,9p3,18p3,27p3,54p3
Une simple étude de ces nombres en tenant compte au critère
d1<d2<............<d16 nous permet de conclure que p3-54=17 si p3>54 qui donne p3=71 ou p3<54 qui donne 54-p3=17 implique p3=37.
donc n=2.3^(3).71 ou n=2.3^(3).37
donc n=3834 ou n=1998
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