le nombre de 0

quel est le nombre de 0 de 100! (dans la base 10)

Conan a écrit:

quel est le nombre de 0 de 100! (dans la base 10)

Il faut préciser que ce sont les 0 terminaux (et non les 0 internes).

Si on appelle p(m,n) la plus grande puissance de n qui divise m, on cherche p(100!,10).

Et comme évidemment p(100!,2)>= p(100!,5), on cherche p(100!,5).

Enfin, on a classiquement p(n!,q)=[n/q]+[n/q^2]+[n/q^3]+...

Donc p(100!,5)=[100/5]+[100/25]=24

100! se termine donc exactement par 24 chiffres 0.

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Patrick

bravo , Patric c'est juste , et tu peux me dire comment ta trouvé :

p(n!,q)=[n/q]+[n/q^2]+[n/q^3]+...

BJR pco !!!
Heureux de te retrouver ( dans une nouvelle vie ) !!!!
Cette formule est particulièrement remarquable , j'aimerais bien en connaitre les sources !!!
Merci bcp !!!!!!
A+ LHASSANE
PS: tu as dit << p(100!,2)>= p(100!,5), on cherche p(100!,5) >>
Je n'ai pas bien saisi le POURQUOI ? est ce qu'avec 5 la formule est + courte ??????? Merci pour ta réponse obligeante .

Bonsoir à tous

1) pour Conan:
La puissance p(n!,q) du nombre premier q dans n! peut se calculer ainsi :
D'abord 1 par multiple de q : q, 2q, 3q, 4q, ...., et donc [n/q]
Puis 1 par multiple de q^2 : q^2, 2q^2, 3q^2, ... (on ne compte que 1 parceque les multiples de q^2 sont aussi des multiples de q et ont déjà été comptés une fois) et donc [n/q^2]
Puis 1 par multiple de q^3 : q^3, 2q^3, 3q^3, ... et donc [n/q^3] (on ne compte que 1 parceque les multiples de q^3 sont aussi des multiples de q et de q^2 et ont déjà été comptés deux fois)
et ainsi de suite, ce qui donne [n/q]+[n/q^2]+[n/q^3]+....

2) pour Oeil_de_lynx
Salut salut
Si on cherche les puissances de 10 dans n!, il faut bormalement prendre le compte des puissances de 2 et celui des puissances de 5.
Il faut alors prendre le plus petit des deux (un nombre divisible par 2^20 et par 5^30 n'est divisible que par 10^20).
Et comme (intuitivement, mais aussi en regardant ce que j'écris en début de post)le compte des puissances de 5 est inférieur au compte des puissances de 2, il suffit de s'intéresser au seul compte des puissances de 5.

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Patrick

tu peux faire cela avec : 3 en 10!

BSR pco et merci pour ta pléthore d'explications .
A+ LHASSANE

Conan a écrit:

tu peux faire cela avec : 3 en 10!

Bien sûr,

La puissance de 3 dans 10! est donc [10/3]+[10/9]+... = 4
Et effectivement
1
2
3 ==> et d'un
4
5
6 ==> et de deux
7
8
9 ==> et de quatre
10

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Patrick

merci Patric