une personne aura deux cartes portant le même numéro.

25 personnes sont assises autour d'une table ronde.
Chacune possède deux cartes ; sur chacune des cartes est écrit un des entiers 1, 2, … , 25 et chacun de ces entiers est écrit sur exactement deux cartes.
A un signal donné, chaque personne donne sa carte ou l'une de ses cartes de plus petit numéro à son voisin de droite, la distribution se faisant de façon simultanée.
Montrer qu'après un nombre fini de telles opérations, une personne aura deux cartes portant le même numéro.

Ok, considérons le plus grand nombre k qui est changé infiniment souvent; alors tout nombre plus grand finit par devenir stationnaire, donc on peut supposer qu'ils ne sont plus changés.
Alors chacun a une carte de valeur supérieure à k; sinon, quand il obtiendrait la carte k, il aurait une paire ou il passerait l'autre carte
Donc, il y a au moins 25 cartes stationnaires.
De l'autre côté, il y a toujours 25 cartes qui sont changées, donc exactement 25 cartes sont stationnaires.
Mais vu que chacun a une carte supérieure à k, il donne toujours les cartes plus petites que k; donc exactement les cartes de valeur supérieure à k sont stationnaires; mais ce nombre est pair, contradiction.