- callo a écrit:
- trouver toutes les f définies sur IR telles que :
fofof(x)=2x-1
Bonjour Callo,
Encore un problème avec une infinité de solutions qui, à mon avis ne devrait pas être posé dans un contexte Olympiades, sauf en lui rajoutant des conditions (dérivabilité en 1, par exemple; voir fin de mon message).
Tel quel, je propose la solution générale suivante :
1) simplifier le problème en posant f(x)=g(x-1)+1. On a alors :
f(f(x))= g(f(x)-1)+1=g(g(x-1))+1
f(f(f(x)))=g(g(g(x-1)))+1
Et donc g(g(g(x-1)))+1=2x-1
Et donc g(g(g(x)))=2x pour tout x.
2) Solution générale de g(g(g(x)))=2x
2.1) Forme suffisante :
Soit un sous-ensemble U de R vérifiant la propriété :
pour tout réel non nul x, il existe un nombre relatif n(x) unique tel que b(x)=x*2^(-n(x)) appartienne à U.
Notons que de tels sous-ensembles existent (prendre par exemple {signe(x)2^{log2(|x|)} pour x parcourant R*})
Soit alors une partition de U en trois ensembles A,B et C équipotents (ce qui est possible puisque le cardinal de U est nécessairement infini) et soient h une bijection de A dans B et k une bijection de B dans C.
Alors la fonction g définie comme suit vérifie la propriété g(g(g(x)))=2x :
Pour x nul : g(0)=0
Pour x non nul :
si b(x) est dans A, g(x)=2^n(x) * h(b(x))
si b(x) est dans B, g(x)=2^n(x) * k(b(x))
si b(x) est dans C, g(x)=2^(1+n(x)) * h^[-1](k^[-1](b(x)))
Démonstration :
Si x=0, g(g(g(x)))=0=2x
Si x est non nul et b(x) dans A :
g(x)=2^n(x) h(b(x)) et donc b(g(x))=h(b(x)) appartient à B et n(g(x))=n(x)
Donc g(g(x))=2^n(g(x))*k(b(g(x))) = 2^n(x) * k(h(b(x)))
Donc b(g(g(x)))=k(h(b(x))) appartient à C et n(g(g(x)))=n(x)
Donc g(g(g(x)))=2^(1+n(g(g(x))))*h^[-1](k^[-1](b(g(g(x)))))=2^(1+n(x))*h^[-1](k^[-1](k(h(b(x)))))=2*2^n(x)*b(x)=2x
Si x est non nul et b(x) dans B :
g(x)=2^n(x) k(b(x)) et donc b(g(x))=k(b(x)) appartient à C et n(g(x))=n(x)
Donc g(g(x))=2^(1+n(g(x)))*h^[-1](k^[-1](b(g(x)))) = 2*2^n(x) * h^[-1](b(x))
Donc b(g(g(x)))=h^[-1](b(x)) appartient à A et n(g(g(x)))=1+n(x)
Donc g(g(g(x)))=2^n(g(g(x)))*h(b(g(g(x))))=2^(1+n(x))*h(h^[-1](b(x)))=2*2^n(x)*b(x)=2x
Si x est non nul et b(x) dans C :
g(x)=2^(1+n(x)) h^[-1](k^[-1](b(x))) et donc b(g(x))=h^[-1](k^[-1](b(x))) appartient à A et n(g(x))=1+n(x)
Donc g(g(x))=2^n(g(x))*h(b(g(x))) = 2*2^n(x) * k^[-1](b(x))
Donc b(g(g(x)))=k^[-1](b(x)) appartient à B et n(g(g(x)))=1+n(x)
Donc g(g(g(x)))=2^n(g(g(x)))*k(b(g(g(x))))=2^(1+n(x))*k(k^[-1](b(x)))=2*2^n(x)*b(x)=2x
2.2) Forme nécessaire
La forme suffisante ci-dessus est aussi une forme nécessaire : toute solution est de cette forme. Pour le montrer, il suffit de considérer une solution g et de montrer que l'on peut en déduire un ensemble U, une partition A, B, C de cet ensemble et deux bijections h et k.
De g(g(g(x)))=2x, on déduit g(2x)=g(g(g(g(x))))=2g(x) et donc aussi g(0)=0.
On en déduit également que g est une bijection.
Soit alors c(x)=signe(x)2^{log2(|x|)} définie pour x non nul et soit E={c(x), pour x parcourant R*}
pour x non nul, on a c(g(x)) différent de c(x) car sinon on aurait g(x)=2^n x pour un certain n de Z, donc g(g(x))=2^n g(x)=4^n x, et donc g(g(g(x)))=8^n x différent de 2x.
De même, on montre que c(g(g(x))) est différent de c(g(x)) et que c(g(g(x))) est différent de c(x).
Donc c(x), c(g(x)) et c(g(g(x))) sont distincts.
Soit alors A={c(x), x dans R*, tels que c(x)<c(g(x)) et c(x)<c(g(g(x)))}
Soit alors B={g(x), x dans A}
Soit alors C={g(x), x dans B}
A et B sont disjoints car sinon on aurait un y tel que c(y) serait dans A et g(c(y)) serait aussi dans A. g(c(y)) dans A implique que g(c(y))=c(z) pour un certain z et comme g(c(y))=2^k c(g(y)), on a z= g(y) et g(c(y))=c(g(y)) et si c(g(y)) est dans A, alors c(g(y))<c(g(g(g(y))))=c(2y)=c(y), ce qui contredit le fait que c(y) est dans A, puisqu'alors on devrait avoir c(y)< c(g(y)).
On montre de la même manière que A et C sont disjoints et que B et C sont disjoints.
Soit alors U=A U B U C.
Soit alors b(x) définie ainsi :
Si x = 0, b(0)=0
Si x non nul et min(c(x),c(g(x)), c(g(g(x))))=c(x), b(x)=c(x) et b(x) est dans A
Si x non nul et min(c(x),c(g(x)), c(g(g(x))))=c(g(x)), b(x)=g(g(c(g(x)))) et b(x) est dans C
Si x non nul et min(c(x),c(g(x)), c(g(g(x))))=c(g(g(x))), b(x)=g(c(g(g(x))) et b(x) est dans B
On a bien b(2x)=b(x) et U vérifie bien la propriété "pour tout réel non nul x, il existe un nombre relatif n(x) unique tel que b(x)=x*2^(-n(x)) appartienne à U"
En prenant alors h=k=g, on retrouve bien la forme dite "suffisante"
CQFD.
===========================
Résultat :
g(x) solution de g(g(g(x)))=2x
<==>
Il existe un sous-ensemble U de R vérifiant la propriété :
pour tout réel non nul x, il existe un nombre relatif n(x) unique tel que b(x)=x*2^(-n(x)) appartienne à U.
Il existe une partition de U en trois ensembles A,B et C équipotents et soient h une bijection de A dans B et k une bijection de B dans C.
Alors :
Pour x nul : g(0)=0
Pour x non nul :
si b(x) est dans A, g(x)=2^n(x) * h(b(x))
si b(x) est dans B, g(x)=2^n(x) * k(b(x))
si b(x) est dans C, g(x)=2^(1+n(x)) * h^[-1](k^[-1](b(x)))
=============================
Exemple 1 (trivial) :
Soit U={signe(x)2^{log2(|x|)} pour x parcourant R*}
b(x)=signe(x)2^{log2(|x|)}
n(x)=[log2(|x|)]
Pour tout x de U |x| est dans [1,2[. Soit alors :
A = {x de U tels que |x| est dans [1, 2^(1/3)[}
B = {x de U tels que |x| est dans [2^(1/3), 2^(2/3)[}
C = {x de U tels que |x| est dans [2^(2/3), 2[}
Soit h(x)=k(x)=2^(1/3) x
Alors g est définie ainsi :
g(0)=0
Si 2^{log2(|x|)} est dans [1, 2^(1/3)[, g(x)=2^[log2(|x|)] 2^(1/3) signe(x)2^{log2(|x|)}=2^(1/3) x
Si 2^{log2(|x|)} est dans [2^(1/3), 2^(2/3)[, g(x)=2^[log2(|x|)] 2^(1/3) signe(x)2^{log2(|x|)}=2^(1/3) x
Si 2^{log2(|x|)} est dans [2^(2/3), 2[, g(x)=2 2^[log2(|x|)] 2^(-2/3) signe(x)2^{log2(|x|)}=2^(1/3) x
Et donc g(x)=2^(1/3) x
=============================
Exemple 2 :
Soit U={signe(x)2^{log2(|x|)} pour x parcourant R*}
b(x)=signe(x)2^{log2(|x|)}
n(x)=[log2(|x|)]
Pour tout x de U |x| est dans [1,2[. Soit alors :
A = {x de U tels que |x| est dans [1, 4/3[}
B = {x de U tels que |x| est dans [4/3, 5/3[}
C = {x de U tels que |x| est dans [5/3, 2[}
Soit h(x)=k(x)=signe(x)(|x|+1/3)
ceci donne la solution g suivante :
g(0)=0
Si 2^{log2(|x|)} est dans [1, 5/3[, g(x)=x+signe(x)2^[log2(|x|)]/3
Si 2^{log2(|x|)} est dans [5/3, 2[, g(x)=2x-signe(x) (4/3) 2^[log2(|x|)]
Notons que cette solution est continue.
=============================
Nota : si on exige que g(x) est dérivable en 0, on a :
g(2x)=2g(x) et donc, pour x non nul, g(2x)/(2x)=g(x)/x et g(x)/x=g(x2^(-n))/(x2^(-n)).
En faisant tendre n vers l'infini, on a ainsi g(x)/x=g'(0)
Et donc une seule solution dérivable en 0 : g(x)=2^(1/3) x
Accueil 
