Chiffres dunité ;

quel est le chiffres d'unité de :
1+2^100+3^100+...+20^100
!

selfrespect a écrit:

quel est le chiffres d'unité de :
1+2^100+3^100+...+20^100
!

jé une petite idéé ,

et ona : 2=2 , 2²=4 , 2^3=8,2^4=16 , 2^5=32 , 2^6 = 64 , 2^7=128 , 2^8= ...356

donc les chifresd'unité de 2^100 est 6

il suffi de savoir les chifres d'unité de , 5^100 , 7^100,

car 6^100 = 3^100 * 2^100 etc
the work is not finished
il reste les nombres : 11^100 , 13^100 , 17^100 , 19^100
avec la meme méthode on pe savoir leur cchifres d'unités
et mr selfrespect si tu as une méthode plus courte et plus jolie que la mienne , I will be very grateful si tu la poste

selfrespect a écrit:

quel est le chiffres d'unité de :
1+2^100+3^100+...+20^100
!

neutrino a écrit:

et mr selfrespect si tu as une méthode plus courte et plus jolie que la mienne , I will be very grateful si tu la poste

pour trouver le chiffre d'unité tu n'as qu'a utiliser mod(10)

samir a écrit:

selfrespect a écrit:

quel est le chiffres d'unité de :
1+2^100+3^100+...+20^100
!

neutrino a écrit:

et mr selfrespect si tu as une méthode plus courte et plus jolie que la mienne , I will be very grateful si tu la poste

pour trouver le chiffre d'unité tu n'as qu'a utiliser mod(10)

j'ai rien compris

oui le mod(10)

1^100 = 1[10]

2^5 = 2[10] => 2^9 = 2^5[10] => 2^9=2[10] => 2^(5+4k) = 2[10]

et : 97 = 5+4*23 => 2^97 = 2[10] => 2^100 = 6[10]

et : 3^4 = 1[10] => 3^(4*25) = 1[10] donc 3^100 = 1[10]

et : 4^100 = 2^100*2^100 => 4^100 =6[10]

et : 5^(n+1)=5[10] => 5^100 = 5[10]

et : 6^100 = 6[10] car (2*3 = 6)

et : 7^100 = 1[10] (comme 7=-3[10])

et : 8^100 = 6[10] (4*2=

et : 9^100 = 1[100] (3²=9)

et : 10^100 = 0[10] évident

et pour les (11,12,13,...,19,20)^100 ils ont les mémes restes que:
(1,2,3,...9,10)^100 par ordre ! (évident )

donc : 1+2^100+3^100+...+20^100 = (1+6+1+6+5+6+1+6+1+0)*2[10]

<=> : 1+2^100+3^100+...+20^100 =66[10]

donc : 1+2^100+3^100+...+20^100 = (2v3) [10]

alors le nombre d'unité cherché est : mes dammes et Monsieurs , chers télé spectateur , c'est le PPCM de (2,3) ,.... a suivre







................. 6 ............................

2^4 =16= 2[10]
comment????????!!!!!!!!!

Einshtein a écrit:

2^4 =16= 2[10]
comment????????!!!!!!!!!

C'est une outile d'arithmetique Mon Ami .

BJR à Toutes et Tous !!!!!
Je vais commencer l'exercice et je vous laisserais le terminer !!!
Prenons par exemple A=7^100 et essayons de trouver son chiffre des unités B .
Disons tout de suite que le résultat sera le même que pour C=17^100 car seul le chiffre des unités , exception faite pour l’exposant 100 , COMPTE ici c'est 7 pour A et C .
Les différentes puissances de 7 , en commençant par la puissance 1 ,se terminent par :
7 , 9 , 3 , 1 et se reproduisent de manière cyclique de période 4.
Par conséquent on écrira 100=(25).4 donc B=1
Ainsi le chiffre des unités pour 7^100 comme pour 17^100 sera 1.
On fera le même raisonnement pour les couples :
2^100 ; 12^100
3^100 ; 13^100
8^100 ; 18^100
pour lesquels on trouvera un cycle d’ordre 4 comme ci-dessus .
Puis , pour les couples :
4^100 ; 14^100
9^100 ; 19^100
on trouvera un cycle d’ordre 2 et enfin pour les couples exceptionnels :
5^100 ; 15^100
6^100 ; 16^100
1^100 ; 11^100
ces nombres se terminent par 5 pour le premier couple , 6 pour le second et 1 pour le dernier .
Enfin 10^100 et 20^100 se terminent par 0 .
A vous maintenant de travailler !!!! Allez voir sur le lien suivant :
http://www.ilemaths.net/forum-sujet-129756.html
et vous serez étonné par la volonté de comprendre de certains comme <<guiliju >> !!!!!.
A+ LHASSANE

PS : pour ceux qui veulent la réponse , le nombre proposé par Selfrespect se termine par 5 sauf erreur bien entendu !!!

bonjour a vous tous et toutes

poue ma premiére réponse , j'avais une faute : {2^4 = 2[10]} , mais

c'est plutot : 2^4 = 6[10]

et j'ai changer tout les autres ( puissanses de 2)

et par miracle , le reste est resté le méme [ La magie ]

BJR Conan !!!!!
Tu dis :
<< alors le nombre d'unité cherché est : mes dammes et Monsieurs , chers télé spectateur , c'est le PPCM de (2,3) ,.... a suivre >>
Tu avances donc que le résultat serait 6 ? je ne le crois pas !
As-tu lu ma proposition de solution !!!
A+

Conan a écrit:

oui le mod(10)

1^100 = 1[10]

2^5 = 2[10] => 2^9 = 2^5[10] => 2^9=2[10] => 2^(5+4k) = 2[10]

et : 97 = 5+4*23 => 2^97 = 2[10] => 2^100 = 6[10]

et : 3^4 = 1[10] => 3^(4*25) = 1[10] donc 3^100 = 1[10]

et : 4^100 = 2^100*2^100 => 4^100 =6[10]

et : 5^(n+1)=5[10] => 5^100 = 5[10]

et : 6^100 = 6[10] car (2*3 = 6)

et : 7^100 = 1[10] (comme 7=-3[10])

et : 8^100 = 6[10] (4*2=

et : 9^100 = 1[100] (3²=9)

et : 10^100 = 0[10] évident

et pour les (11,12,13,...,19,20)^100 ils ont les mémes restes que:
(1,2,3,...9,10)^100 par ordre ! (évident )

donc : 1+2^100+3^100+...+20^100 = (1+6+1+6+5+6+1+6+1+0)*2[10]

<=> : 1+2^100+3^100+...+20^100 =66[10]

donc : 1+2^100+3^100+...+20^100 = (2v3) [10]

alors le nombre d'unité cherché est : mes dammes et Monsieurs , chers télé spectateur , c'est le PPCM de (2,3) ,.... a suivre







................. 6 ............................

c pas la peine de faire jusqu adix
remarque que 6=-4[10]==>6²=4²[10]
....
on peut tjs faire plus courtbravo comme mm conan.

Salam 3alikoum Jami3anne !!!!!
EST-CE-QUE J'AI DIT SERAIT FAUX par hasard ?????
Merci !!!!!

Oeil_de_Lynx a écrit:

BJR à Toutes et Tous !!!!!
Je vais commencer l'exercice et je vous laisserais le terminer !!!
Prenons par exemple A=7^100 et essayons de trouver son chiffre des unités B .
Disons tout de suite que le résultat sera le même que pour C=17^100 car seul le chiffre des unités , exception faite pour l’exposant 100 , COMPTE ici c'est 7 pour A et C .
Les différentes puissances de 7 , en commençant par la puissance 1 ,se terminent par :
7 , 9 , 3 , 1 et se reproduisent de manière cyclique de période 4.
Par conséquent on écrira 100=(25).4 donc B=1
Ainsi le chiffre des unités pour 7^100 comme pour 17^100 sera 1.
On fera le même raisonnement pour les couples :
2^100 ; 12^100
3^100 ; 13^100
8^100 ; 18^100
pour lesquels on trouvera un cycle d’ordre 4 comme ci-dessus .
Puis , pour les couples :
4^100 ; 14^100
9^100 ; 19^100
on trouvera un cycle d’ordre 2 et enfin pour les couples exceptionnels :
5^100 ; 15^100
6^100 ; 16^100
1^100 ; 11^100
ces nombres se terminent par 5 pour le premier couple , 6 pour le second et 1 pour le dernier .
Enfin 10^100 et 20^100 se terminent par 0 .
A vous maintenant de travailler !!!! Allez voir sur le lien suivant :
http://www.ilemaths.net/forum-sujet-129756.html
et vous serez étonné par la volonté de comprendre de certains comme <<guiliju >> !!!!!.
A+ LHASSANE

PS : pour ceux qui veulent la réponse , le nombre proposé par Selfrespect se termine par 5 sauf erreur bien entendu !!!

salut ; franchement je nai pas verifier le calcul (ben ce genre dexo exuiste bien et on peut mm creer ce genre:lol:)
jene crois po qu il peut etre 5 tt simplement car ce nombre est paire

BJR Selfrespect !!!
Ce qui est important dans cet exo c'est la démarche suivante :
<<Je vais commencer l'exercice et je vous laisserais le terminer !!!
Prenons par exemple A=7^100 et essayons de trouver son chiffre des unités B .
Disons tout de suite que le résultat sera le même que pour C=17^100 car seul le chiffre des unités , exception faite pour l’exposant 100 , COMPTE ici c'est 7 pour A et C .
Les différentes puissances de 7 , en commençant par la puissance 1 ,se terminent par :
7 , 9 , 3 , 1 et se reproduisent de manière cyclique de période 4.
Par conséquent on écrira 100=(25).4 donc B=1 >>
Reproductible 10 fois ( 10 paires ) , puis faire la somme et enfin prendre le chiffre des unités FINAL .
A+ et Merci de m'avoir répondu !!!!

oui evidemment ben moi aussi jai pris en consderation seulemnt la methode en fait c presque evident que la seule chance pour faire lexo c passer par modulo 10 !.
bern jai remarqué que vous avez calculer le chiffres dunité pour les 9 premiers nombre(123..9)ce qui peut etre raccourcis en remarquant que apres quondepasse 5 lesoperation se repete.
dou lapossibilité de calculer mm 1^100+2^100.....+1000^100 juste avec un peu de patience !.
merçi .

s'il y a une faute quelque part dans ma démo , prevener moi