très facile !!

a,b,c > 0 tels que abc >= 1 Mq :
a^3 + b^3 + c^3 >= ab+ac+bc

Slt
puisque a,b,c joue un rôle symetrique alors on peut supposer que a>=b>=c .
On a a³+b³+c³>=1/3 (a²+b²+c²)(a+b+c) (Chebychev)
>= 1/3 (a²+b²+c²) (3(abc)^(1/3)) (IAG)
>= a²+b²+c² >=ab+bc+ac
c tt
Alaoui.Omar

eh, bien, c juste !!

adam a écrit:

a,b,c > 0 tels que abc >= 1 Mq :
a^3 + b^3 + c^3 >= ab+ac+bc

méthode plus SIMPLE

a^3+b^3+c^3 >= (a+b+c)^3/9 = (a+b+c)²(a+b+c)/9

or a+b+c >= 3(abc)^1/3 >= 3

donc a^3+b^3+c^3 >= 3(a+b+c)²/9 = (a+b+c)²/3 >= ab+ac+bc

A++

neutrino a écrit:

adam a écrit:

a,b,c > 0 tels que abc >= 1 Mq :
a^3 + b^3 + c^3 >= ab+ac+bc

méthode plus SIMPLE

a^3+b^3+c^3 >= (a+b+c)^3/9 = (a+b+c)²(a+b+c)/9

or a+b+c >= 3(abc)^1/3 >= 3

donc a^3+b^3+c^3 >= 3(a+b+c)²/9 = (a+b+c)²/3 >= ab+ac+bc

A++

!! c C.S ?(

wé omar

prouvons que (a^3+b^3+c^3)>= (a+b+c)^3/9

ona : d'après Cauchy shwarz

(a^3+b^3+c^3)(a+b+c) >= (a²+b²+c²)² >= ( [ (a+b+c)²/3] )² = (a+b+c)^4/9 en divisant par a+b+c on obtient le résultat volu

alors ça ne reste pas plus simple !! lol

adam a écrit:

alors ça ne reste pas plus simple !! lol

wé mais il est b1 connu que (a^3+b^3+c^3)>= (a+b+c)^3/9

mmmm, oui, mais il reste obligatoire à montrer qd meme car ya d'autres qui ne le connaissent pas !!
amicalement : Adam