WANTED !!

determinez toutes les fonctions f définies su IR vérifiant :
f(xf(y)) = f(xy) + x pour tt (x,y) € IR²

bonsoir tt le monde
pour y=0 on a f(xf(0))=f(0)+x
si f(0)=0 on aura 0=x quelque soit x ce qui est absurde
donc f(0) est different de 0
on remplace x par x/f(0) on obtient f(x)=f(0)+x/f(0)
donc f est surjective
en remplace x par 1 dans l'equation initiale on obtient:
f(f(y))=f(y)+1 et puisque f est surjective on pose x=f(y)
donc f(x)=x+1
reciproquement x+1 verifie les conditions du probleme
a+

wiles a écrit:

bonsoir tt le monde
pour y=0 on a f(xf(0))=f(0)+x
si f(0)=0 on aura 0=x quelque soit x ce qui est absurde
donc f(0) est different de 0
on remplace x par x/f(0) on obtient f(x)=f(0)+x/f(0)
donc f est surjective
en remplace x par 1 dans l'equation initiale on obtient:
f(f(y))=f(y)+1 et puisque f est surjective on pose x=f(y)
donc f(x)=x+1
reciproquement x+1 verifie les conditions du probleme
a+

Bonjour Wiles,

Oui, simple, direct et joli.

Il était aussi possible, à partir de f(x)=x/f(0) + f(0), de reporter cetrte forme dans l'équation initiale et on trouvait alors f(0)=1 (le cas f(0)=0 ayant déjà été éliminé), d'où le résultat x+1.

--
Patrick