5 exos d'arithmetique(exo4)

Exercice 4

1: Montrez que si a , b , c et d sont réels alors (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad - bc)2.
2: On pose S comme étant l'ensemble des entiers naturels non nuls n tels qu'il existe a et b entiers naturels
non nécessairement nuls tels que n=a2 + b2.
a: Indiquez quels sont les entiers qui apartiennent à S dans la liste suivante:
2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 17 ; 19 ; 23 ; 37 ; 41 ; 43.
b: Montrez que si n et m appartiennent à S alors n.m appartient aussi à S.
D'une façon générale, montrez que si k entiers appartiennent à S alors leur produit appartient aussi à S.
c: Montrez que 4810 appartient à S.
d: Montrez que si p premier strictement supérieur à 2 appartient à S alors p = 1 modulo 4
(ou encore p=1[4] ou le reste de la division euclidienne de p par 4 est 1)
e: Peut-on écrire 1999 comme somme de deux carrés d'entiers?

1) (a² + b²)(c² + d²) = (a²c² + b²d²) + (a²d² + b²c²)=
(a² + b²)(c² + d²) =[(ac+bd)² - 2acbd] + [(ad-bc)² + 2acbd] = (ac + bd) ² + (ad - bc)²

S={n£N/(a;b)£N² n=a²+b²}
2 = 1² +1²
4 = 0² + 2²
5 = 1² + 2²
9 = 0² + 3²
13 = 2² + 3²
17 = 1² + 4²
37 = 1² + 6²
41 = 4² + 5²
Donc 2 , 4 , 5 , 9 , 13 , 17 , 37 , 41 sont dans S

et puis on utilise la 1 question pour demontrez l'xob