exercice sur les déterminats( oral de mine)

soit
Montrer que
si , Alors

Bonsoir,

On suppose n >1 (sinon c'est clairement faux).

Si X = A on a det(2A)= 2 det(A) d'où det(A)= 0 , ensuite
on choisit d'abord X = -x I , det( A -xI) = det(A) +(-x)^n = (-x)^n
valable pour tout x réel donc A est nilpotente.
L'égalité se comportant bien par changement de base on peut supposer
A = J composée de blocs de Jordan nilpotent (sur R aussi pas de problème) on choisit alors X avec des 1 aux endroits manquants de sorte que A+X soit une matrice de permutation , det(A+X) = 1 ou -1 mais det(X)= 0 sauf si A = 0 .

lolo

D'aprés lolo A est nilpotente et pour toute X, det(A+X)=det(X).

Si A est de rang r alors A=PJ_rQ avec P,Q dans GL_n(IR) et J_r est la matrice dont les termes sont tous nuls sauf les r premiers termes diagonaux valant 1.

Soit J'_(n-r) la matrice de M_n(IR) telle que J_r + J'_(n-r)=I_n.

alors det(A+PJ'_(n-r)Q)= de(PQ) #0.
Mais, det(A+PJ'_(n-r)Q)= det(PJ'_(n-r)Q) donc det(J'_(n-r))#0 i.e n-r=n
Donc r=0.