trés difficile pour proffessionels

x,y,z et t appartient a R:
on a x+y+z = t et x^3+y^3+z^3 = 1000^3 et 1/x+1/y+1/z = 1/t

calculer : x+y+z+t.

greatestsmaths a écrit:

x,y,z et t appartient a R:
on a x+y+z = t et x^3+y^3+z^3 = 1000^3 et 1/x+1/y+1/z = 1/t

calculer : x+y+z+t.

ce né pas très difficile ( enfin je crois , je ne suis pas si sur )
ona :
1/(x+y+z) = 1/(x) +1/y + 1/z (*)

or (x+y+z)^3 = x^3+y^3+z^3+ 3 ( xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z) ) + 6xyz
et ona :xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z) = xyz ( (x+y)/z + (y+z)/x + (x+z)/y )
or d'après (*)
1= (x+y+z)/z + (x+y+z)/y + (x+y+z)/x = (x+y)/z + (x+z)/z + (y+z)/x +3
d'ou 3 ( xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z) ) = 3 [ -2xyz]
on déduit que : (x+y+z)^3 = x^3+y^3+z^3+ 3 ( xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z) ) + 6xyz = x^3+y^3+z^3 -6xyz+6xyz = x^3+y^3+z^3 = 1000^3
d'ou x+y+z= 1000 et comme t=x+y+z donc x+y+z+t=2000
sauf erreur
A++

je ne pense pas que c'est defficile
1/x+1/y+1/z = 1/t <=> (x+y+z)(xy+xz+yz)=xyz
<=> x^3+y^3+z^3 =(x+y+z)^3
donc t=1000=x+y+z
donc x+y+z+t=2t=2000

je pense q'on a poster la meme solution au meme temp

kalm a écrit:

je pense q'on a poster la meme solution au meme temp

non

moi 20:42 , et toi 20:59 , mé cé pas grave

a we je sait pour quoi car j'ai lessait cette page sur mon pc quand jai ete entrain de resoudre l'exo