- Conan a écrit:
- non je ne le confirme pas , mais je dis le contraire
OK
P(x,y) : f(x-f(y)) = f(f(y)) + xf(y) + f(x) - 1
Si on ajoute la restriction "l'ensemble des points x en lesquels f(x) est
discontinue est inclus dans un intervalle ]a,b[", alors on peut montrer
(cf. ci-dessous) que la seule solution est f(x)=1 - x^2/2. .
Démo :
Point 1 : f(x) n'est pas bornée.
Facile à voir : d'abord dire que f n'est pas identiquement nulle puis
choisir y telle que f(y) est non nul et faire tendre x vers l'infini
dans P(x,y) : Si f(x) était bornée, le terme de gauche serait borné et
pas le terme de droite.
Point 2 : f(x) = (f(0)+1)/2 - x^2/2 pour tout x dans Im(f)
Faire P(f(x),x) : f(0) = 2f(f(x)) + f(x)^2 - 1 et donc
f(f(x))=(f(0)+1)/2 - f(x)^2/2
d'où le résultat.
Point 3 : f(x) = 1 - x^2/2 pour tout x tel que x/2 est dans Im(f)
Faire P(2f(x),x) : f(f(x)) = f(f(x)) + 2f(x)^2 + f(2f(x)) - 1 et donc
f(2f(x)) = 1 - (2f(x))^2/2
d'où le résultat
Point 4 : f(0)=1
f(x) n'étant pas bornée et l'ensemble des discontinuités étant inclus
dans un intervalle ]a,b[, f est donc continue du (ou d'un) côté où elle
n'est pas bornée et à partir d'un certain point. Il est donc possible de
trouver deux valeurs u et v telles que f(v)=2f(u).
Alors, d'après le point 2 : f(f(v)) = (f(0)+1)/2 - f(v)^2/2
Et, d'après le point 3 : f(f(v)) = 1 - f(v)^2/2
Et donc (f(0)+1)/2 = 1
d'où le résultat
Point 5 : f(x) = 1 - x^2/2 pour tout x de R
Faire g(x) = f(x) - (1 - x^2/2). P(x,y) devient : g(x-f(y)) = g(f(y))+
g(x)
Et, en faisant x=f(y) : g(f(y))=g(0)/2 = 0. Soit :
g(x - y) = g(x) Pour tout x de R et y de Im(f)
Le fait qu'il existe une plage ]-oo,x1] ou une plage [x2, +oo[ incluse
dans Im(f) permet alors directement de conclure que g(x)=constante=0.
D'où le résultat.
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Il resterait à étudier le cas de fonctions ayant une infinité de points
de discontinuités constituant un ensemble non borné.
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Patrick
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