L'Exercice 2 proposé aux olympiades français 2006 caen
Un chien est attaché par une laisse d’une longueur de 10 mètres en un point F d’un poteau cylindrique de diamètre 2 mètres.
Le chien circule en gardant en permanence sa laisse tendue et on suppose qu’il se déplace en tournant autour du poteau dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (pour un observateur regardant la scène du dessus).
On suppose aussi que le sol est plan, que l’axe du poteau est perpendiculaire à ce plan.
On assimilera le chien à un point situé dans le plan du sol. On supposera que le point F est aussi dans ce plan et on appellera O le point de l’axe du poteau situé dans ce plan.
On appelle D la position initiale du chien.
On suppose que D est sur la demi-droite [OF).
Lorsque le chien circule, sa laisse, qu’on suppose sans épaisseur, s’enroule autour du poteau.
1: Faire un dessin soigné à l’échelle 1/100ème. On fera figurer sur ce dessin les positions du chien :
• C1 lorsque sa laisse devient pour la 1ère fois perpendiculaire à sa direction initiale
• C2 lorsque sa laisse devient pour la 1ère fois parallèle à sa direction initiale
• C3 lorsque sa laisse devient pour la 2ème fois perpendiculaire à sa direction initiale
• C4 lorsque sa laisse devient pour la 2ème fois parallèle à sa direction initiale.
On indiquera dans chaque cas la longueur libre de la laisse.
La droite (OF) partage le plan en deux demi-plans. On appelle (P1) le demi-plan dans lequel s’engage le chien lorsqu’il quitte sa position de départ et (P2) l’autre demi-plan.
2: On a tracé sur le sol une ligne de poudre blanche entre deux points M et N tous les deux situés dans le demi-plan (P1) sur la perpendiculaire en F à (OF) et tels que FM = 4 m et FN = 9,5 m.
Le chien risque-t-il de se blanchir la patte ?
3: Une flaque d’eau circulaire a pour rayon r = 0,3 m et pour centre le point G dans le demi-plan (P2) sur la perpendiculaire en O à (OF) tel que OG = 7 m.
Le chien va-t-il se mouiller la patte ?
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