exo de géométrie

L'Exercice 1 proposé aux olympiades français 2006 caen
On rappelle que deux rectangles sont semblables s’ils ont le même rapport
(On convient comme d’habitude que la mesure de la longueur est toujours supérieure ou égale
à celle de la largeur).
On dispose d’une feuille rectangulaire de dimensions L et l, avec L > l.
Un des axes de symétrie est horizontal, l’autre est vertical.

On plie cette feuille suivant son axe vertical (opération p1), puis suivant l’axe horizontal du rectangle obtenu (opération p2), puis suivant l’axe vertical du nouveau rectangle (opération p3), et ainsi de suite en alternant pliage suivant la verticale et pliage suivant l’horizontale et en notant pn la nième opération.

Si l’on déplie la feuille après avoir effectué un certain nombre de pliages, on constate que l’on a obtenu un pavage par des rectangles.

1: Combien le pavage comporte-t-il de rectangles après avoir effectué les opérations p4 ? p7 ? pn ?

2: Montrer que, si n est pair, tous les rectangles du pavage sont semblables au rectangle de départ.

3: Est-il possible d’obtenir un pavage par des carrés ?

4: Est-il possible qu’après chaque opération pn on obtienne un pavage par des rectangles tous semblables au rectangle de départ ?

1) à l'opération p_n on a 2^n rectangles.
2) à l'opération p_(2n) on obtient un pavage de 2^(2n) rectangles de même dimensions (L/2^n,l/2^n) donc semblables au rectangle du départ.
3) Comme L>l , alors si le nombre des opérations est pair on ne peut pas obtenir un pavage par des carrés . Mais si le nombre des opérations est impair à l'opération p_(2n+1) les rectangles obtenus sont de dimensions
(L/2^(n+1),l/2^n) peuvent être des carrés si L/2=l.
4) Oui si n est pair . Non sinon