inegalite de somme

salut
on a s=a1+a2...+an demontre que la somme de s/(s-ai)>n²/(n-1) i se varie de 1->n

Sauf erreur c'est juste Cauchy-Schwarz : Sum x_i * Sum 1/x_i >= n² avec x_i = s-a_i

oui c'est juste c'est la methode du cour d'inegalite mais trouve une autre

>> du cour d'inegalite

Quel cours ?

mohamed_01_01 a écrit:

une autre

Bon, Jensen avec la convexité de s/(s-x) alors.

A=somme(s/(s-ai) i se varie de 1->n
donc il y a 2>d>1 tel que d(aj)<s (aj=sup(a1....an)
on s/(s-ai)>1 donc s/(s-ai)>(s-(s-dai))/(s-ai-(s-dai)
donc s/(s-ai)>dai/(ai(d-1)=d/(d-1)
donc A>nd/(d-1)=n²(d/(nd-n)
d/(nd-n)>=1/(n-1) <=>dn-d>nd-n donc d<n (il va etre jusye si n>=2) et pour n=1 on va s'assurer

comment la convexite de s/(s-ai) pour le cour d'inegalte ecrit cours dans la recherche et tu va le trouver

(i=1Σn)s/s-a_i =s(i=1Σn)1/s-a_i >=s*n²/(i=1Σn)(s-a_i)=s*n²/ns-s=n²/n-1
et merci mohamed_01_01

d'ou as tu cetta relation
1/(s-a1)...+1/(s-an)>n²/(ns-a1-a2...a2)

(a_1+a_2+...+a_n)>=n²/(1/a_1+1/a_2+...+1/a_n)