Un autre exo d'application

Merci infiniment pour votre réponse ^^ !!

slt
soit n de N*
**montrons d'abors l'existance de (p,q)**
-il suffit de montrer que:
-qel que soit n de N* il exist (p,q) de N.N (surjectivité)
montrons la par reccurence.
pour n=1
donc 1=2^p.(2q+1) est vrai(on prend (p.q)=(0,0)
supposons qu'il est vrai pour tt 1=<m=<n et montrons pour n+1 .
si n+1 est impair
donc il exsit k de N*/ n+1=2k+1
on prend (p,q)=(0,k)
si n+1 est pair
donc il exist m de N*/n+1=2m
0<m<n+1 <==> 0=<m=<n
d'apres l'hypotese de recuurence:
il exist (i,j)de N.N /m=2^i.(2j+1)
donc:
n+1=2^(i+1).(2j+1) on prend (p,q)=(i+1,j)
conclusion:
qel que soit n£n* il exist (p,q)£ N.N

montrons ensuite l'unicité (surjection)
soit (p,q)£N² et (P',q')£N²/n=2^p.(2q+1)=2^p'.(2q'+1) (*)
on pose p>p' donc:
(*)<==> 2^(p-p').(2q+1)=2q'+1
donc:
2^(p-p')=1et 2q+1=2q'+1
par suite: p=p' et q=q'
conclusion:
qel que soit n £N* il exist uniq (p,q)£N²/n=2^p.(2q+1)
d'ou f est bijective.

J'ai pas bien compris ta solution Fermat1988.

Pourquoi tu as choisi (p ;q) ? C'est à la place de (N,M) ?

En tout cas, merci de ton aide !

Jiji-rajaa a écrit:

Salut !
On considère l'application suivante:
f: N*N --> N*
(n,m)----> (2n+1).2^m
1) Montre que l'application f est injective et surjective.
Merciii d'avance !!

Comme te l'a suggéré AISSA , tu devrais en fait démontrer ceci :
Tout entier naturel P non nul s'écrit de manière unique sous la forme
P=2^q.(2p+1) avec p et q entiers naturels aussi !!!!
On considère l'ensemble
E={k entier naturel tel que 2^k divise P }
E est une partie non vide de IN puisque k=0 est dans E ( car 2^0=1 divise tout P )
E est MAJOREE puisque si k est dans E alors k<=2^k<P
par suite E admet un plus grand élément que l'on notera q , de par sa définition :
q est dans E donc 2^q divise P
(q+1) n'est pas dans E donc 2^(q+1) ne divise pas P
On pourra alors écrire P=2^q . m ou m est un entier ; cependant cet entier m NE POURRA ETRE PAIR sinon (q+1) diviserait encore P ; par conséquent m=2p+1 puis
P=2^q.(2p+1)
Noter que p et q sont alors UNIQUES de part le procédé de construction du moins lorsque P n'est pas nul .
A+ LHASSANE

PS: La réponse de fermat 1988 est tout à fait correcte et tu as ici une réponse utilisant une technique différente , ce qui te donne un autre éclairage pour ton problème .