problème N°104 de la semaine (22/10/2007-28/10/2007)

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Solution postée
voici la solution de TsQ
Uniquement si n=2

Déjà il faut que n soit premier sinon n=a*b et 2^n - 1 est divisible par 2^a-1.
Donc n est premier > 2 donc impair =2*m+1 et 2^(2m+1) + 1 est divisible par (2+1)=3 (X^n+1 divisible comme polynome par X+1 si n impair).

solution postée
voici la solution de mohamed_01_01
salut voila ma reponse : on supose que n n'est pas premier donc il a et b de N*-{1} telq n=ab donc 2^n-1=(2^a)^b-1^a=(2^a-1)((2^a)^(b-1)+(2^a)^(b-2)....+1) on 2^a>=4 (car a>1)donc 2^a-1>3>1 et on 2^a<2^n donc 2^a-1<2^n-1 donc 2^n-1 n'est pas premeier c'est n est premier on a 2=-1[3] donc 2^n=(-1)^n[3] n est premier est plus que 2 donc n=2k+1 donc 2^n=-1[3] => 2^n+1=0[3] et puisque n>2 donc 2^n+1>3 donc 2^n+1 va etre premier donc il n'exsite pas n>2 teque 2^n-1 et 2^n+1 est pemier

solution postee
voici la solution de kirahunter
j ai putrouver une solution au problem de la semaine
on doit etudier ce problem en etudiant 2 cas
si n est paire n=2*p
alors on a 2^n-1= (2^p)^2-1
=((2^p)-1)*((2^P)+1)
si 2^n-1 est premier alors
(2^p)-1=1 ou.. autre cas est impossible 2^p ne s annule pas
donc p=1 alors n=2 et c est vrai pour 3 est 5
si n est impair n=2*p+1
alors on a 2^n+1 = 3*((2^(2*P)-(2^(2*p-1)).............1)
on a 3 divise 2^n+1 et 2^n+1 est premier donc 3=2^n+1
alors n=2 ET il est vrai 3 et 5
C/C la solution de ce problem est n=2 unique

solution postée
voici la solution de FERMAT
si n est impair ,alor 2^n +1=3(2^{n-1}+....+1)qui n est pas premier,donc n est pair
2^n-1=4^k-1=0[3] ,donc il n'existe pas de n>2atisfaisant les conditions du problème

Bonjour!

Solution postée.
voici la solution de kendor
Si n=0, on a 0, 1,2
0 n’est pas premier.

Si n=1, on a 1, 2,3
1 n’est pas premier.

Si n>1,2ⁿ n’est pas premier.
2ⁿ-1,2ⁿ,2ⁿ+1 étant trois entiers consécutifs, l’un est un multiple de 3
2ⁿ n’étant pas un multiple de 3, alors 2ⁿ-1 ou 2ⁿ+1 est un multiple de 3
Or ces deux nombres doivent être premiers.
Donc l’un des deux vaut 3 (seuls multiples premiers de 3)

Si 2ⁿ-1=3, alors n=2 et on a 3, 4,5.
Si 2ⁿ+1=3, alors n=1 et on a 1, 2,3
1 n’étant pas premier, alors n=2 est la seule solution.

Donc si n>2, il n’y a pas de solution

A+
Ciao!

Kendor.

Salam tout le monde

SOLUTION POSTEE
voici la solution de math_pro

Bonjour

Solution postée
voici la solution de khamaths
Supposons qu'il éxiste n >2 tel que : p=2^n-1 et q=2^n+1 soient tous les deux premiers.

*si n est pair==> n=2m / m>1
===> p=4^m-1 >3
===> 3 / p (absurde)

*Si n st impair===> n= 2m+1 / m>=1
===> q=2*4^m+1 >=9
====> 3 / q (absurde)

Postée
voici la solution de Rockabdel:
la congruence modulo 3 permet de voir que:

2^n = 1 mod 3 si n est pair
2^n = 2 mod 3 si n est impair

---- Si n est pair alors 2^n-1= 0 mod 3 ==> 2^n -1 premier seulemet si n=2 (impossible)

---- Si n est impair alors (2^n-1)(2^n+1)= 0 mod 3

2^n-1 et 2^n +1 premiers en mm temps et n impair

==> 2^n-1=3 ou 2^n+1=3 ==> n=2 ou n=1 (impossible)

ainsi il nexiste pas d'entier > 2 tel que 2^n-1 et 2^n+1 premiers en mm temps

Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki.attioui

2^n-1 premier ==> n premier (Mersenne)
2^n+1 premier ==> n=2^k (Fermat)
Donc 2^n-1 et 2^n+1 sont premiers ssi n=2
Donc il n'existe pas de n>2 tq 2^n-1 et 2^n+1 sont premiers (jumeaux)
A+

Solution Postée
solution non trouvée (administration )

c'est la solution que j'ai envoyé:

solution postée
voici la solution de o0aminbe0o
pour tout n>2 , 2^n-1>3

on a 2^n+1 premier
donc pour tout n>2 , 2^n+1=2[3] ou bien 2^n+1=1[3]

premier cas ; 2^n+1=2[3] => 2^n-1=0[3]
=> 3l2^n-1
ce qui est impossible puisque 2^n-1 est un nombre premier strictement supperieur à 3

deuxieme cas ; 2^n+1=1[3] => 2^n=0[3]
=> 3l2^n
ce qui est absurde car PGCD(2,3)=1

donc il n existe aucune valeur de n>2 tel que 2^n+1 et 2^n-1 premiers

solution postée
voici la solution deSToF065.
Pour n>2
Si n impair
2^n +1=2^n - (-1)^n=3.sum(k=0 a (n-1))(2)^k.(-1)^(n-k-1)=3k (k£ N*-{1})
Si n pair
n=2k’ (k’£ N*-{1})
2^n-1=4^k’ -1=3.sum(q=0 a (k’-1))(4)^q=3q’
Donc
Il n existe aucun n>2 tel que 2^n-1 et 2^n +1 premiers en même temps
A+
SToF065

soluce postee
voici la solution de wiles
2^n-1 premier ==> n premier (nombres de mersenne)
puisque n>2 alors n impair
2^n+1=(2+1)(2^(n-1)+..+1)=3A
2^n+1 premier ==> 2^n+1=3 ==> n=1 ce qui est absurde
donc pas de soluces

SOlution Postée
voici la solution de D_f!
Pour ce problème .il suffit d’étudier la parité de n ! Dans les deux Cas on va avoir 3/2^n-1 ou 3/2^n+1. Donc il n’existe aucune valeurs de n pour que 2^n+1 et 2^n-1 soient des nombres premiers.

solution postée
voici la solution de iverson_h3
Slt !!!!!!!!
Bé voici ce que g trouvé
Si 2^n-1 et 2^n+1 sont premiers en même temps =>
(2^n-1)(2^n+1) se divise seulement par 2^n-1 et 2^n+1 et 1 et (2^n-1)(2^n+1)
 4^n-1 se divise seulement par 2^n-1 et 2^n+1 et 1 et (2^n-1)(2^n+1
Et on a 4^n -1 se divise par 3 (par récurrence : 4^n -1=3k => 4^(n+1) -1 = 4^n – 1+3*4^n = 3(k+4^n))
Et on a 2^n -1>3 donc 2^n-1 tokhalif 3 et 2^n +1>5 donc 2^n +1 tokhalif 3
et 1 tokhalif 3 et 4^n-1> 15 tokhalif 3 (n>2)
donc 2^n-1 et 2^n+1 ne sont premiers en même temps
« il n’ya ps n tel que 2^n-1 et 2^n+1 sont premiers en même temps »
@+

solution postée
voici la solution de neutrino
soit p et p' deux premiers tel que
2^n-1= p et que 2^n+1=n
<=>
p+1 = 2^n
p'-1 = 2^n
les chifres d'unité des puissance de 2 qui se repetent

2,4,8,6 ==> les chifres d'unité de p sont 1,3,7,5 et ceux de p' sont 3,5,9,7 ,

mé puisque p et p' sont premiers et que p'=p+2 , alors les chifres d'unité de p et p' sont 7 et 9 ( on éliminé 3 et 5 car chaque nombre
> 5 et divisable par 5 est non premier) , alors le chifre d'unité de 2^n est 8

ce qui prouve que n est divisable par 3 , soit n=3k

2^n= 8^k , alors p+1=8^k <=> p= 8^k-1 <=> 7*(8^k-1+........) et puisque p est premier p=7 , donc p'=9 absurde!!!!!!!
( sauf erreur)
j'espere que c juste

a++

Solution postée
voici la solution de conan
1ere Methode
on suppose par absurde qu'une tel valeur n existe. n>2

1- Si n est pair , on aura donc n = 2k (k€N)
et on a : 2² = 1[3] => 2^(2k) = 1[3] => 2^(n) -1 =0[3] ce qui signifie que 2^(n)-1 est dévisible par 3 , et donc ce nombre n'est pas premier.
(n>2 implique que 2^(n)-1 > 3)

2- Si n est impair , on aura n = 2k'+1 (k'€N)
et on a : 2² = 1[3] => 2^(2k')=1[3] => 2^(2k'+1)= 2[3] =>2^(n)+1=0[3]
ce qui signifie que 2^(n)+1 est dévisible par 3 , et donc ce nombre n'est pas premier.(n>2 implique que 2^(n)+1 > 3)

de 1 et 2 , on déduit qu'une tel valeur n n'existe pas .

2 ème Méthode

on a : n> 2 donc 2^(n)-1 > 3 et 2^(n)+1 >3
on sais que l'un de trois nombres succecetifs est dévisible par 3.
donc l'un des nombres : 2^(n)-1 ; 2^(n) ; 2^(n)+1 est dévisible par 3
évidemment 2^(n) n'est pas dévisible par 3 ; ce qui signifie que l'un des deux nombre 2^(n)-1 ou 2^(n)+1 est dévisible par 3 , pour tous n>2.
donc on peux pas trouver en meme temps les deux nombres premiers.
Alors une tel valeur n > 2 n'existe pas.