probleme d'equation

salut.
determiner la valeur exact de la solution.
l'equation est x*3 - 6x*2 + 12x - 11 = 0
la derivé s'annule uniquement en 2 sans changer de signe.
aidez moi svp. sans utiliser cardan.
merci d'avance.

touti a écrit:

salut.
determiner la valeur exact de la solution.
l'equation est P(x)=x*3 - 6x*2 + 12x - 11 = 0
la derivé s'annule uniquement en 2 sans changer de signe.
aidez moi svp. sans utiliser cardan.
merci d'avance.

BJR touti !!!
Dans IR , le polynôme s'annulle au moins une fois d'après le TVI puisque :
Lim P(x) =+ ou - oo lorsque x-------> + ou - oo
La nullité de la dérivée de P' en x=2 ne t'indique pas grand chose ; c'est P" qui s'annule aussi en 2 avec changement de signe qui t'informe du changement de CONCAVITE de P .
Grace à mon ami MAPLE , j'ai déniché une racine réelle comprise entre 3,44 et 3,45 . Les deux autres racines de P sont COMPLEXES !!!
A+ LHASSANE

merci pour votre interet.
c'est juste ce que t'as dis, mais P(x) et sticteent croissante, alors P(x)=0 admet une seule est unique solution, le probleme c'est qu'il faut la definir exactement.
P.S: c'est un exo d'un devoire en clesse.
merci encore.

touti a écrit:

merci pour votre interet.
c'est juste ce que t'as dis, mais P(x) et sticteent croissante, alors P(x)=0 admet une seule est unique solution, le probleme c'est qu'il faut la definir exactement.
P.S: c'est un exo d'un devoire en clesse.
merci encore.

Re-BJR touti !!!!
Le pb c'est que cette unique racine réelle de P n'est pas EVIDENTE ( par ex 1 ou -1 ou 3/4 ......) Le TVI te donnera un ENCADREMENT aussi fin que tu veux de cette racine !!!!
A+ LHASSANE

Re-BJR touti !!!
Bonne Nouvelle pour toi !!
Avec toute ma bonne volonté , j'ai démarré la Méthode de Cardan pour résoudre par radicaux les équations du troisième degré et apparemment les choses s'arrangent ce qui me permet de comprendre la demande de ton Prof :
<< le probleme c'est qu'il faut la definir exactement >>

On pose X=Y+a ( On fait un changement d'indéterminée )
alors tous calculs faits :
P(X)=Y^3+(3a-6).Y^2+(3a^2-12a+12).Y+(a^3-6a^2+12a-11)
puis on choisit de manière à annuler le coefficient de Y^2
Le bon choix est a=2
et comble de chance !!!!
le coefficient de Y s"annulera aussi ( ce qui n'arrive pas toujours ) . On obtiendra donc l'équation :
Y^3 - 3=0 qui admet 3 racines ( une réelle et 2 complexes ) et qui sont
y1=3^(1/3)
y2=3^(1/3).j
y3=3^(1/3)j^2
ou j est égal à exp(i2Pi/3)
Par suite les TROIS racines de ton équation seront :
x1=2+3^(1/3)
x2=2+3^(1/3).j
et x3=2+3^(1/3)j^2
Si tu es seulement intéressé par la racine réelle , ce sera donc EXACTEMENT x1=2 + 3^(1/3) .
EXCEL me donne en valeur numérique x1=3.44224957.............
A+ LHASSANE

Oeil_de_Lynx a écrit:

On pose X=Y+a ( On fait un changement d'indéterminée )
alors tous calculs faits :
P(X)=Y^3+(3a-6).Y^2+(3a^2-12a+12).Y+(a^3-6a^2+12a-11)
puis on choisit de manière à annuler le coefficient de Y^2
Le bon choix est a=2
et comble de chance !!!!
le coefficient de Y s"annulera aussi ( ce qui n'arrive pas toujours ) .
A+ LHASSANE

salut est merci
mais je ne comprend pas pour quoi il faut que le coefficient de Y*2 soit nul
un grand merci.

BJR touti !!
C'est l'idée même de la méthode de Cardan , ramener l'équation :
X^3+pX^2+qX+r=0
à une équation de la forme :
Y^3+uY+v=0 qui n'a plus de terme en Y^2 !!
A+ LHASSANE
PS: voici un lien sur Wikipédia !!
http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Cardan

merci de votre interet.
et encore merci.

Merci pour la méthode

bon voila ce que j ai essayè de faire x^3 -6x²+12x-11=(x-2)^3 -3=0 donc (x-2)^3 -3=0 donc (x-2)=3^(1/3) donc x=2+(3)^1/3

bon voila ce que j ai essayè de faire x^3 -6x²+12x-11=(x-2)^3 -3=0 donc (x-2)^3 -3=0 donc (x-2)=3^(1/3) donc x=2+(3)^1/3