Equation Sur N

Résoudre sur N :

[(1+(2)^(1/2)]^2007=a+b(2)^1/2 , (a,b)apartient à N² .

Merci D'avance

Bonne chance ^

a=b=3^1003

oui mais la demonstration ??

on utilise le binome de newton et puis on trie les puissances paires et impaires (pr avoir des nombres entiers) et puis le resultat.

Nea® a écrit:

Résoudre sur N :
[(1+(2)^(1/2)]^2007=a+b(2)^1/2 , (a,b)apartient à N² .
Merci D'avance

On démontre par récurrence sur n ( ou DIRECTEMENT par le Binôme comme suggéré par Rockabdel ) que :
(1+rac2)^n =An+(rac2).Bn avec An et Bn dans IN
de plus :
(1-rac2)^n=An-(rac2).Bn pour tout n dans IN
Par multiplication membre à membre , on obtient une relation intéressante : (An)^2-2.(Bn)^2=(-1)^n
Cette relation devrait servir pour la résolution du Pb posé par Nea®
A+ LHASSANE

Jolie Methode!

rockabdel a écrit:

Jolie Methode!

Je n'ai pas résolu l'équation de Nea® !!!!!
On a donc A(2007)=a et B(2007)=b
puis a^2-2.b^2=(-1)^(2007=-1
Que faut-il invoquer de + pour avoir a et b sans équivoque ???
A+ LHASSANE

a^2-2b^2=-1
mais dis moi comment t'as fait pour le : (1-rac2)^n=An-(rac2).Bn pour tout n dans IN

Nea® a écrit:

......
mais dis moi comment t'as fait pour le : (1-rac2)^n=An-(rac2).Bn pour tout n dans IN

Pour calculer (1+rac2)^n
Rockabdel a expliqué la méthode par le BINOME de NEWTON
(1+rac2)^n= SIGMA {k=0 à n ; C(n;k).(rac2)^k}
Tu regrouperas en deux paquets les parties correspondantes aux indices k PAIRS et celle correspondante aux indices k IMPAIRS
Le 1er Paquet te donnera An
Le second te donnera (rac2).Bn
Que se passera-t-il si tu veux maintenant évaluer (1-rac2)^n
Eh Bien c'est la même chose que l'expression de (1+rac2)^n SAUF qu'on a changé rac2 par -rac2
Ce changement ne modifiera pas An mais changera Bn en son OPPOSE !!
Voilà Tout !!
A+ LHASSANE

on a po fait le BINOM de Newton

Utilises donc le
raisonnement par récurrence
que j'ai suggéré pour montrer que :
(1+rac2)^n=An+(rac2).Bn avec An et Bn dans IN pour tout n
A+ LHASSANE

oui mé je me demande comment tu eu la deusieme egalité

Oeil_de_Lynx a écrit:

Utilises donc le
raisonnement par récurrence
que j'ai suggéré pour montrer que :
(1+rac2)^n=An+(rac2).Bn avec An et Bn dans IN pour tout n
A+ LHASSANE

Tu trouveras alors :
A0=1 et B0=0
puis :
An+1=An+2Bn et Bn+1=An+Bn
Tu peux alors démonter par récurrence sur n que :
An^2-2.Bn^2=(-1)^n
Maintenant , tu écriras :
(1-rac2)^n=(-1)^n/{1+rac2}^n=(-1)^n/{An+(rac2).Bn}
Tu utilises ensuite la partie conjuguée
1/{An+(rac2).Bn}^n={An-(rac2).Bn}/{(An+(rac2).Bn).(An-(rac2).Bn}
={An-(rac2).Bn}/{(An^2-2.Bn^2}
={An-(rac2).Bn}/{(-1)^n}=(-1)^n.{An-(rac2).Bn}
d'ou (1-rac2)^n= An-(rac2).Bn
A+ LHASSANE

c dure ça !!!

Si T en terminal SM Vs devez avoir etudie le binome de newton ( dans le denombrement )
k
C
n