cauchy dans un evn

jai des difficultés a resoudre;
soit E un espace vectoriel des fonctions réelles continues sur [-1,1].On munit E de la norme ||f||_2 qui égale sqrt(integral de -1 jusqu'à 1 de f(x)² dx)

et soit (f_n) la suite définie par . 0 si x€ [-1,0]
. nx si x€ [0,1/n]
. 1 si x€ [1/n,1]
montrer que (f_n) est une suite de cauchy.
on sait que dans espace vectoriel norme une suite de cauchy est définie par
v £<0 il existe N€IN v n et m > IN IIf_n - f_m II< £
je sais que je dois le N mais le probleme se pose comment faire separer les deux fonction par ce que on al'inégalite de minkovsky juste avec le signe +

||fn-f_p||_2 = |1/n - 1/p| / 2

Comme 1/n est une suite de Cauchy dans IR (car convergente), f_n est de Cauchy zaussi.

Au passage ça prouve que E n'est pas complet !

coment moi j'ai trouver que E et complet .si je concidere que la suite est deja de cauchy et j'etudie sa convergence car la norme est definit et tend vers 0 quend n tend vers l'infini

La limite n'est pas une fonction continue

jai po compris ce que tu vx dire

ThSQ a écrit:

La limite n'est pas une fonction continue

Pour quelle norme?

Oui je voulais dire qu'il n'y a pas de fonction C° f tel que ||f_n - f||_2 -> 0.

la suite converge dans L_2[-1,1] (qui est de Hilbert) vers f.
déterminer f?