La formule des "Amateurs de Maths"?

Tout d'abord, on a :
. (facile à prouver)

Puis, on peut aussi trouver que :
(pas très difficile non plus).

Alors, ma question est, peut-on trouver une formule générale? (i.e. pour : , avec k € N.)

Oui, c'est possible, une fois que l'on a compris le sens du calcul.

Je n'ai pas le courage de chercher la formule, mais il suffit d'expliquer les deux premières pour comprendre le principe.


Formule au rang 2 : il s'agit de tirer 2 boules parmi 2n boules. Imaginez que ces 2n boules sont rangées dans deux boîtes contenant chacune n boules.

Nbres de façons de tirer 2 boules venant d'une seule boîte : 2 x C(2,n) - le 2 représente le choix de la boîte, le C(2,n) le tirage des 2 boules dans cette boîte.

Nbres de façons de tirer 2 boules avec une provenant de la première boite et l'autre de la seconde boîte : n^2 ( n choix dans la première - n choix dans la seconde )




Formule au rang 3 : il s'agit de tirer 3 boules parmi 3n boules. Imaginez que ces 3n boules sont rangées dans trois boîtes contenant chacune n boules.

Tirages utilisant 3 boites : n^3

Tirages utilisant 2 boites : C(2,3) x C(3,2n) ( C(2,3) : choix des boites - C(3,2n) : choix des 3 boules parmi 2n ).
On retrouve le terme 6nC(2,n) : C(2,3)=6 et C(3,2n) = nC(2,n) (même explication qu'au rang 2)

Tirages utilisant 1 boite : 3 x C(3,n) : le 3 représente le choix de la boîte, le C(3,n) le tirage des 3 boules dans cette boîte.